понедельник, 30 декабря 2013 г.

2014 из собственных цифр

Семёныч пополнил Кладовую числовых диковинок удивительными равенствами, в готорых номер наступающего года получается из цифр 2, 0, 1 и 4 в этом порядке:

2014=20×14×(2+0+1+4)+(20+14)×2-(0+14)
2014=(201+4)×2-0-1×4+201×4+201×4
2014=201×4-201×4/2×0!×1+4+201×4+201×4

воскресенье, 29 декабря 2013 г.

Разность простого и составного

Семёныч, ведущий раздела "Кладовая числовых диковинок" на Назве, нашёл поистине замечательное свойство  числа 2014. Оказывается, оно является ращностью между 365-м простым числом ии 365-м составным числом.

2014 = 2467 - 453

суббота, 28 декабря 2013 г.

Избыточность числа 2014

Если избыточными числами называть те, которые меньше суммы всех своих собственных делителей, то число 2014 - не избыточно:

2014 > 1 + 2 + 19 + 38 + 53 + 106 + 1007

А по определению из этого поста, связанного с количеством цифр в простых множителях, число 2014 - избыточно, т.к. цифр в записи 2х19х53 пять, а не четыре.

Интересно, является ли число 2014 избыточным с лингвистической точки зрения? Можно ли вместо "две тысячи четырнадцать" (21 буква) обойтись более короткой фразой, однозначно определяющей данное число? Разумеется, фраза должна указывать на число 2014 независимо от даты на календаре, так что "следующий год" (12 букв) не подойдёт.

пятница, 27 декабря 2013 г.

Самое большое число

Самое большое число, которое можно составить исключительно из цифр 2, 0, 1, 4 и только из них, будет
$2^{4^{10}}$

вторник, 24 декабря 2013 г.

Цифры 2, 0, 1, 4

Перед новым годом на математических форумах играют в такую игру. Нужно из цифр номера года (0, 1, 2, 4) с помощью математических действий получить натуральные числа 1, 2, 3 и т.д.

Допускается использовать знаки +, -, х, :, корень, возведение в степень, скобки, "склеивание" цифр в число.

Так как среди четырёх цифр есть ноль, поначалу задача довольно простая:

1 = 1 + 2х0х4
2 = 2 + 1х0х4
3 = 1 + 2 + 0х4
4 = 4 + 2х0х1
5 = 4 + 1 + 2х0
6 = 4 + 2 + 1х0
7 = 1 + 2 + 4 + 0
8 = 2х4 + 1х0
9 = 2х4 + 1 + 0
$10 = 12-\sqrt{2}+0$

Кто сможет продолжить?

понедельник, 23 декабря 2013 г.

Разность и сумма дробей

Разложение числа 2014 на простые множители поможет ответить и на вопрос, сколькими способами аликвотную дробь $\frac{1}{2014}$ можно представить в виде суммы или разности двух аликвотных дробей.

Составим диофантово уравнение:
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{2014}$

$\frac{y-x}{xy}=\frac{1}{2014}$

2014y - 2014x = xy

(2014-x)y = 2014x

$y = \frac{2014 x}{2014-x}$

Так как слева - натуральное число, то и справа число должно быть натуральным. Во-первых, такое возможно, если разность 2014 - х окажется равным одному из делителей числа 2014: 1, 2, 19, 38, 53, 106 или 1007. Это даёт пары решений (х,у):
(2013,4054182);
(2012,2026084);
(1995,211470);
(1976,104728);
(1961,74518);
(1908,36252);
(1007,2014).

Однако, все ли это решения? Нет, ведь, например, при x = 2010 знаменатель дроби $y = \frac{2014 x}{2014-x}$ тоже сократится полностью. Так как же найти, сколькими способами можно представить дробь $\frac{1}{2014}$ в виде разности двух аликвотных дробей, не прибегая к полному перебору?

Для этого введём замену d = 2014 - x. Тогда выражение для y обретёт вид:

$y = \frac{2014 (2014-d)}{d}=\frac{2014^2-2014d}{d}=\frac{2014^2}{d}-2014$

Таким образом, число d должно быть делителем числа $2014^2$ и быть меньше числа 2014. Всего для него 13 вариантов:
1, 2, 4, 19, 38, 53, 76, 106, 212, 361, 722, 1007, 1444

Что даёт следующие равенства:
$\frac{1}{2014}=\frac{1}{2013}-\frac{1}{4054182}=\frac{1}{2012}-\frac{1}{2026084}= \frac{1}{2010}-\frac{1}{1012035}=\\
=\frac{1}{1995}-\frac{1}{211470}=\frac{1}{1976}-\frac{1}{104728}=\frac{1}{1961}-\frac{1}{74518}=\\
=\frac{1}{1938}-\frac{1}{51357}=\frac{1}{1908}-\frac{1}{36252}=\frac{1}{1802}-\frac{1}{17119}=\\
=\frac{1}{1653}-\frac{1}{9222}=\frac{1}{1292}-\frac{1}{3604}=\frac{1}{1007}-\frac{1}{2014}=\frac{1}{570}-\frac{1}{795}$

А найти, сколькими способами число $\frac{1}{2014}$ представляется в виде суммы аликвотных дробей предлагаем вам самостоятельно. Будет хорошая тренировка перед математическими олимпиадами этого года.

воскресенье, 22 декабря 2013 г.

Последовательность составных чисел

Составные числа - те, у которых больше двух делителей. Первое составное число - 4.
4е составное число - 9.
9е составное число - 16
16е составное - 26

Продолжив последовательность по этому принципу, будем получать:
39, 56, 78, 106, 141, 184, 236, 299, 374, 465, 570, 696, 843, 1014, 1212, 1441, 1708,

И, наконец, номер наступающего года: 2014. Это 1708-е составное число.

суббота, 21 декабря 2013 г.

Разность треугольных чисел

С представлением числа 2014 в виде разности квадратов не получилось. Но может получиться треугольными числами.

Треугольное число описывается формулой $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$. Из $T_n$ монет можно выложить треугольник со стороной n.

Итак, пусть число 2014 представляется разностью треугольных чисел:
$T_x-T_y=2014$

$\frac{x(x+1)}{2}-\frac{y(y+1)}{2}=2014$

$x^2+x-y^2-y=4028$

$(x-y)(x+y)+(x-y)=4028$

$(x-y)(x+y+1)=4028$

Здесь число 4028 представляется в виде произведения двух натуральных чисел разной чётности. Это возможно сделать следующими способами:

4028 = 1х4028 = 19х212 = 53x76 = 4x1007

Для каждого из способов будет одно решение уравнения. В итоге имеем:
$2014 = T_{2014}-T_{2013} = T_{115}-T_{96}=T_{64}-T_{117}=T_{505}-T_{509}$

пятница, 20 декабря 2013 г.

Простые числа и разность квадратов

Пора бы уже, по традиции, собирать интересные факты о номере наступающего года: 2014.
Начнём с того, что это число раскладывается на простые множители так:

$2014=2\times 19\times 53$

Обычно сразу после этого факта я пишу, сколькими способами его можно представить в виде разности квадратов, но сейчас хочу пояснить подробнее, какая связь между этими способами и простыми множителями числа.

Итак, пусть для некоторых натуральных х и у:
$x^2-y^2=2014$

Левая часть раскладывается на множители по формуле разности квадратов:
(x-y)(x+y) = 2014

Заметим, что выражения х-у и х+у, как сумма и разность двух натуральных чисел, имеют одинаковую чётность. Поэтому, чтобы найти все возможные решения, попробуем число 2014 представить в виде произведения двух натуральных чисел одинаковой чётности.

А вот это как раз невозможно. Ведь среди простых делителей числа 2014 только одна двойка, и, как бы мы ни группировали их в два множителя, один будет чётным, другой - нечётным.

понедельник, 22 июля 2013 г.

День числа пи!

Большинство публикаций в интернете приурочиваются к "американскому" дню числа пи, четырнадцатому марта. Однако сегодняшняя дата, 22/7, даёт более точное приближение числа пи, чем запись 3.14.

Для нас эта дата замечательна ещё тем, что сегодня исполняется пять лет проекту "Приглашение в мир математики". И мы рады сообщить об открытии блога http://evolventa.blogspot.com/, где можно будет обсуждать публикации основного сайта http://intelmath.narod.ru/. Да и сами публикации будут появляться чаще.

С праздником!

воскресенье, 21 июля 2013 г.

Новый конкурс магических квадратов!

Мой хороший друг, Наталия Макарова, регулярно участвовала в конкурсах программистов от Ала Зиммермана и делилась информацией о них для моего блога. А недавно она порадовала новостью: Ал запускает новый конкурс по задаче Наталии о пандиагональных магических квадратах из простых чисел.

Страница конкурса

Участники должны для каждого n от 6 до 20 найти пандиагональный магический квадрат nxn из простых чисел с наименьшей возможной магической константой.

Вот пример пандиагонального квадрата 4х4 с магической константой 240:
7 10723103
 89 377341
97 1711313
47 793183

В нём сумма 240 достигается не только в вертикалях, горизонталях и диагоналях, но также и в ломаных диагоналях.

На данный момент вот какие результаты получили участники:
nНаименьшая найденная магическая константа
6450
71597
81584
924237
103594
1118191
128820
131394767
14Решение пока не найдено
1518231
1648048
175675102246930958811
1854054
197769339597062329721
2065100

У вас есть ещё месяц. чтобы улучшить эти результаты и попасть в список победителей!

понедельник, 17 июня 2013 г.

Задача на миллион долларов

В 1993 году техасский математик-любитель и миллиардер по совместительству, Эндрю Бил, предложил приз в 100 тысяч долларов за решение одной задачки из теории чисел.

Доказать, что если мы возьмём три натуральных числа А, В, С, возведём их в натуральные степени x, y, z, большие двух, и будет выполняться равенство:

$A^x+B^y=C^z$,

то у чисел А, В, С обязательно найдётся общий простой множитель.

Вот, например:
$27^4+162^3=9^7$

Здесь все числа, возводимые в степень, делятся на 3 (и даже на 9).

Приз можно получить и если найдёте контрпример: подобное равенство, в котором основания степеней не имели бы общего множителя, большего единицы.

За 20 лет исследований разобрано достаточно много частный случаев, однако обощения пока не найдено, поэтому приз вырос до одного миллион долларов.

Дерзайте!

четверг, 2 мая 2013 г.

Математический Марафон

Обычно, если в публикациях блога наступает перерыв, это значит, что я работаю над новой игрой :) Сейчас это правда лишь отчасти, т.к. реализацию своей идеи одновременных ходов в шахматах я уже отправил на закрытое бета-тестирование. А в данный момент занят я решением интересных задач из Математического Марафона.



Владимир Лецко проводит уже 17-й тур этого соревнования. Прочитать условия задач можно, например, на научном форуме dxdy.ru.



В задаче с ближайшим сроком сдачи ответов (5 мая) рассматриваются числа, представимые в виде суммы ровно 4 своих (попарно различных) делителей. Как, скажем, число 12 = 6 + 3 + 2 + 1. Требуется найти стомиллиардное число с таким свойством.


Решения этой и других задач присылайте ведущему по адресу val-etc [at] yandex.ru

суббота, 13 апреля 2013 г.

Список нерешённых математических задач

Нет, здесь не будут представлены задачи тысячелетия, за решение которых объявлены премии в миллион долларов. Просто за время существования блога я иногда в постах формулировал задачки, некоторые из которых пока не поддались читателям.

1. На реальной политической карте мира существуют 4 государства, все имеющие выход к морю и граничащие друг с другом. Как такое может быть? И нарушается ли при этом теорема о четырёх красках?

2. Хотя говорят, что задача поиска простых чисел - одна из самых сложных, вы легко можете привести пример функции f(n), значения которой будут только простыми числами. Нет ли тут противоречия?

3. Задачу о перестановке цифр и сложении решили на Назве, но в самом блоге пока не появилось комментария с правильной цепочкой преобразований.

4. Является ли "де" в фамилии Рене Декарта отдельной частицей? Просто заинтересовался, подбирая материалы для поста о нём, может быть, кто-то знает точно и расскажет.

5. Было найдено много примеров честных чисел, но всегда интересно расширить список.

6. Актуальна и аналогичная задача поиска избыточных чисел, правда, там найдено примеров поменьше.

7. Задача на продолжение последовательности пока держится, хотя я дал уже 3 подсказки.

8. Задача про трёхзначное число решена для десятичной системы счисления. Остаётся найти такую систему, в которой она бы имела 2 решения.

9. На 50% решена задача о неизменном трёхциферном окончании.

10. Софизм про 2 + 2 = 5, видимо, был знаком многим читателям блога, потому комментариев к нему не появилось, но если кто сталкивается с подобным доказательством впервые, поискать ошибку было бы интересно и полезно.

11. На сколько частей разобьют плоскость n прямых общего положения?

12. Здесь мы ищем треугольники с целой площадью и последовательными целыми сторонами.

13. А тут нужно найти четвёртую из дробей, допускающих правильно-неправильное сокращение.

14. Вот на эту задачу о дробях и играх с цифрами сам не знаю ответа, но интересно поискать.

15. Вот ещё одна задача о перестановке цифр, решения которой я не знаю. Она вполне могла бы быть темой для исследовательской работы в Малой академии наук по секции Математика или Программирование.

понедельник, 1 апреля 2013 г.

Интересные факты о математике

А знаете ли вы, что...

  • Бросая иголку на паркетный пол, можно вычислить число пи;
  • На реальной политической карте мира нарушается теорема о четырёх красках;
  • Не существует универсального алгоритма, определяющего, зациклится ли некоторый данный алгоритм или нет;
  • Соломинка и бублик с точки зрения одного из разделов математики - одно и то же;
  • Плоскость можно полностью замостить квадратами со сторонами 1, 2, 3, 4, 5 и т.д., взяв каждый ровно по одному разу;
  • Можно туристу дать такую последовательность инструкций, которая приведёт его в нужную точку, где бы он изначально не находился;
  • Существует арифметическая прогрессия любой наперёд заданной длины, все члены которой - простые числа;
  • Существует даже функция от натурального аргумента, все значения которой - простые числа;
  • Со времени присуждения премии института Клэя Григорию Перельману, новых публикаций в этом разделе сайта не появлялось;
  • Кроме $2^3$ и $3^2$ не существует больше последовательных натуральных чисел, являющих степенями;
Обычно первого апреля я в блоге публикую софизмы или разные математические розыгрыши, но в этот раз все утверждения в списке - правда. Для некоторых из них стоит подумать, как такое возможно. Так что жду комментариев!

воскресенье, 24 марта 2013 г.

Капетенуза примугольнова примугольника

С 2005 года по Сети ходит скан контрольной работы по геометрии за седьмой класс. Тема, видимо, "теорема Пифагора". Может быть, это и фейк, но если фейк - то талантливый.

Капетенуза примугольнова примугольника

Вариант 3.
1. Какие стороны называются катетом.
Те, которые равны $90^o$

2. Свойства примугольнова примугольника
Примугольник примугольника равен $180^o$, а значит что там есть катеты равные $90^o$ и капетенузы равные $60^o$

3. Если капетенуза и катет однова примугольника треугольника соотвецтвена равны капетенузы и катету то они равны $90^o$

суббота, 2 марта 2013 г.

Умножение чисел, чуть меньших 100

Друг поделился картинкой, показывающей интересный способ умножения. Сейчас покажу, почему этот приём работает и какие у него ограничения.

Перемножим 2 числа, чуть меньшие сотни:
(100 - a)(100 - b) = 10000 - 100(a + b) + ab = 100(100 - (a + b)) + ab

Например:

81*97 =
a = 19, b = 3, a + b = 22, ab = 57, 100 - (a + b) = 78.
Результат: 7857

Следует быть внимательным в случае, когда ab окажется трёхзначным:
88*89 =
a = 12, b = 11, a + b = 23, ab = 132, 100 - (a + b) = 77.
В этом случае нужно будет первую цифру от 132 прибавить к 77, а уже двуциферное окончание приписать к полученному результату. Получим: 7832 

среда, 27 февраля 2013 г.

Любые цифры в степени двойки

А вы знали, что для любой заданной наперёд последовательности цифр найдётся степень двойки, с этой последовательности начинающаяся? Например первые 4 цифры числа $2^{9645}$ будут 2718 - такие же, как и у числа e, а десятичная запись степени $2^{1363}$ начинается с 2013, номера текущего года.

Доказывается это вот как:

вторник, 26 февраля 2013 г.

Как выиграть в казино?

Как-то я писал о том, что у кубика нет памяти. Однажды в 1913 году этот факт позволил баснословно обогатиться одному казино в Монте-Карло.

18 августа 1913 года на рулетке начала выпадать серия из чёрных секторов. пять, десять, пятнадцать раз подряд... Игроки, полагающие, что уж теперь-то она должна перваться, стали массово ставить на красное. Выпало чёрное.

Снова ставки - уж теперь-то должно быть красное! Нет, опять чёрное. И ещё, и ещё раз. Прикинув, что вероятность двадцати чёрных секторов подряд чуть меньше одной миллионной, посетители снова массово ставили на красное. И опять мимо.

Ведь при оценке шансов надо было событие "двадцать чёрных подряд" сравнивать не с событием "любая другая последовательность", а с событием "девятнадцать чёрных и красное". И в этом случае призрачная "одна миллионная" превращается в осязаемые пятьдесят процентов.

Хуже всего приходилось тем, кто, желая отыграться, удваивал ставку после каждого проигрыша. Ведь перебороть серию из 26 чёрных секторов подряд денег не хватило никому.

Так что ответ на вопрос заголовка - чтобы выигрывать в казино, надо быть его владельцем!

четверг, 21 февраля 2013 г.

Первые цифры степеней


Закономерность в последних цифрах степеней находится легко. А что можно сказать о первых цифрах степени двойки? Есть ли в последовательности 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, …закономерность?

Сначала кажется, что группа из 10 цифр 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5 здесь опять-таки будет повторяться периодически. Но быть полностью уверенными в этом мы не можем, т.к. первая цифра степени может зависеть не только от первой, а от всех цифр предыдущей степени.

среда, 20 февраля 2013 г.

Последние цифры степеней

Рассмотрим  последовательность степеней двойки:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...

И выпишем только последние цифры:
2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4,...

Будет ли эта закономерность сохраняться до бесконечности?

воскресенье, 17 февраля 2013 г.

Обман зрения в геометрии

Часто при доказательстве теоремы Пифагора используется метод разрезания и перекладывания частей. Однако не следует забывать, что используя такой путь следует строго доказывать, что мы получили именно ту фигуру, которую хотели. Иначе могут возникать ситуации, подобные следующей:

Возьмём квадрат 8 на 8 и разрежем его на 4 части:

Теперь переложим части вот так:
Получается, что из одних и тех же частей состоят и квадрат площадью 64 и прямоугольник площадью 65.



Но это не всё - переложив части вот так:

суббота, 16 февраля 2013 г.

Насколько точен ваш компьютер?

Мы привыкли доверять в расчётах компьютеру. Но иногда - чересчур полагаемся на него. А сейчас я покажу один поучительный пример, позволяющий оценить точность вычислений.

Откроем новый документ Excel. В ячейку А1 введём число 0

среда, 13 февраля 2013 г.

Десятью словами

Как-то я предлагал задачку описать натуральные числа фразами, состоящими из меньше числа букв, чем соответствующее числительное.

Например, вместо "двадцать семь" можно сказать "три в кубе", вместо "пятьдесят" - "полсотни".

Рассмотрим другой вариант этой задачи. Будем стараться сократить не количество букв, а количество слов во фразе, описывающей данное число. К пример, вместо "тысяча триста тридцать один" скажем "куб одиннадцати".

Как вы думаете, любое ли натуральное число можно будет описать фразой из менее десяти слов?

вторник, 12 февраля 2013 г.

Неинтересные числа

В блоге я часто пишу об интересных свойствах чисел. Вот, например, какие особенности имеются у 50, 196, 1444, 40585 или 13223140496.

Возникает вопрос - а у каждого ли числа имеется какое-нибудь интересное свойство? Разумеется, кроме тривиального "Число n - единственное натуральное число, лежащее между n-1 и n+1".

Утвердительно ответил на этот вопрос ещё Мартин Гарднер вот каким остроумным построением.

Рассмотрим единицу. Она, безусловно, интересна, например, тем, что является нейстральным элементом умножения или тем, что не принадлежит ни к простым, ни к составным числам.

Допустим, что некоторые числа, большие единицы, неинтересны. Но в таком случае среди множества неинтересных чисел можно найти наименьшее. Наименьшее натуральное число, не имеющее интересных особенностей - разве это не интересно?!

Таким образом, это число попадёт в категорию интересных. Возникает противоречие: только что мы относили число к неинтересным - и сразу же утверждаем, что оно интересно. Избавиться от этого противоречия можно только допустив, что неинтеренсых чисел не существует.

Все числа интересны!

пятница, 8 февраля 2013 г.

Рукописный ввод формул

Вот на этой странице напишите что-нибудь мышкой и сразу же сможете получить код LaTeX для вставки в MathUrl  или вычислить значение выражения в ВольфраАльфе

рукописный ввод формул



пятница, 1 февраля 2013 г.

Трёхзначное число

Некоторое трёхначное число записали в обратном порядке, а затем вычли из большего меньшее. В результате оказалось, что разность состоит из тех же цифр, что и исходное число.

В десятичной системе счисления ответ на задачу единственен. А в какой системе счисления есть два трёхзначных числа, удовлетворяющих условию задачи?

четверг, 31 января 2013 г.

Антимагические квадраты Стенли

Магические квадраты - такой же непременный атрибут занимательной математики, как и игры с цифрами, задачи на разрезание или числовые фокусы. А вот Наталия Макарова, пополнившая Интернет-энциклопедию целочисленных последовательностей немалым числом своих находок, рассказала мне, что сущеcтвуют также квадраты антимагические.

Строго говоря, есть несколько определений того, какой квадрат считать антимагическим. Вот антимагический квадрат Стенли - это такой квадрат размера nxn, в котором равны не суммы по всем горизонталям и вертикалям, а, наоборот, суммы любых n элементов, никакие 2 из которых не лежат в одной строке или одном столбце.

Пример:
34417
51319
233137

В нём:
3+13+37 = 3+19+31 = 44+19+23 = 44+5+37 = 17+13+23 = 17+5+23 = 53

В квадрате со стороной n таким сумм будет ровно n! Нелегко же, наверное, все их уравнять! Однако Наталии с коллегами удаётся не только находить такие квадраты, а и составлять их только из простых чисел и доказывать минимальность полученных сумм.

среда, 30 января 2013 г.

Часы в дискриминанте

На научном формуе dxdy.ru ведущий математического марафона VAL поделился забавным случаем в экзаменационной работе.

Дискриминант квадратного уравнения был записан как:
b2 - часы

Именно так, с буквой ы :)

вторник, 29 января 2013 г.

Теорема Пифагора

Анимированная гифка, наглядно демонстрирующая, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе.

воскресенье, 27 января 2013 г.

Как получить факториал

Наталия Макарова рассказала мне о новом конкурсе для математиков и программистов, который проводит Al Zimmermann.

Задача здесь - построить последовательность, которая начинается единицей, а заканчивается факториалом некоторого числа. Причём каждый член последовательности, начиная со второго, должен выражаться как сумма, произведение или разность некоторых двух предшествующих ему членов (не обязательно различных).

Вот, например, как раз 7 шагов получить факториал пяти:
1, 2, 3, 6, -5, -30, 150, 120

Здесь между членами последовательности следующие соотношения:

2 = 1 + 1
3 = 1 + 2
6 = 3 + 3
-5 = 1 - 6
-30 = 6 × (-5)
150 = -5 × (-30)
120 = -30 + 150

Особый интерес представляет вопрос, можно ли получить n! менее, чем за n шагов.  Найти 25 минимальных последовательностей, оканчивающихся факториалами чисел от 13 до 37, и должны участники конкурса.

Задача обсуждается на русском научном форуме

Официальный сайт конкурса

Напомню, что я недавно задавал задачку про последовательность, и в комментариях с тех пор дал пару подсказок.

среда, 23 января 2013 г.

Распределение обязанностей

Одному профессору часто приходили письма с попытками доказательства Великой теоремы Ферма. Она завёл себе форму стандартного ответа:

Уважаемый ________
Мы рассмотрели вашу работу, в ней используется интересный подход, однако на странице ___ строке ___ допущена ошибка, которая делает ложными все последующие рассуждения.
С уважением, проф. такой-то

Заполнять пропуски он поручал своим аспирантам :)

вторник, 22 января 2013 г.

Доказательство Великой теоремы Ферма

В академию наук приходит телеграмма:

"Найдено доказательство теоремы Ферма. Основная идея - перенос yn в правую часть. Высылайте премию. После получения подробности письмом".

понедельник, 21 января 2013 г.

Продолжите последовательность

Вот такая интересная последовательность: 9, 171, 27, 4, 9, 59, 18, 4, 18, 81, 9, 581,...
Продолжите её.

Подскажу, что лет 10 назад её разгадывать было бы намного сложнее.

Используемая система десятичная, никаких лингвистических подвохов, только математика.

вторник, 1 января 2013 г.

C Новым 2013 Годом!!!

Интересная гипотеза существует относительно числа 2013. Если взять степень двойки и записать её в троичной системе, то там никогда не окажется 2013 нулей.

Желаем вам в Новом году интересных задач и красивых решений!

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл уравнение видео комплексные магический квадрат палиндром правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр