четверг, 31 января 2013 г.

Антимагические квадраты Стенли

Магические квадраты - такой же непременный атрибут занимательной математики, как и игры с цифрами, задачи на разрезание или числовые фокусы. А вот Наталия Макарова, пополнившая Интернет-энциклопедию целочисленных последовательностей немалым числом своих находок, рассказала мне, что сущеcтвуют также квадраты антимагические.

Строго говоря, есть несколько определений того, какой квадрат считать антимагическим. Вот антимагический квадрат Стенли - это такой квадрат размера nxn, в котором равны не суммы по всем горизонталям и вертикалям, а, наоборот, суммы любых n элементов, никакие 2 из которых не лежат в одной строке или одном столбце.

Пример:
34417
51319
233137

В нём:
3+13+37 = 3+19+31 = 44+19+23 = 44+5+37 = 17+13+23 = 17+5+23 = 53

В квадрате со стороной n таким сумм будет ровно n! Нелегко же, наверное, все их уравнять! Однако Наталии с коллегами удаётся не только находить такие квадраты, а и составлять их только из простых чисел и доказывать минимальность полученных сумм.

среда, 30 января 2013 г.

Часы в дискриминанте

На научном формуе dxdy.ru ведущий математического марафона VAL поделился забавным случаем в экзаменационной работе.

Дискриминант квадратного уравнения был записан как:
b2 - часы

Именно так, с буквой ы :)

вторник, 29 января 2013 г.

Теорема Пифагора

Анимированная гифка, наглядно демонстрирующая, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе.

воскресенье, 27 января 2013 г.

Как получить факториал

Наталия Макарова рассказала мне о новом конкурсе для математиков и программистов, который проводит Al Zimmermann.

Задача здесь - построить последовательность, которая начинается единицей, а заканчивается факториалом некоторого числа. Причём каждый член последовательности, начиная со второго, должен выражаться как сумма, произведение или разность некоторых двух предшествующих ему членов (не обязательно различных).

Вот, например, как раз 7 шагов получить факториал пяти:
1, 2, 3, 6, -5, -30, 150, 120

Здесь между членами последовательности следующие соотношения:

2 = 1 + 1
3 = 1 + 2
6 = 3 + 3
-5 = 1 - 6
-30 = 6 × (-5)
150 = -5 × (-30)
120 = -30 + 150

Особый интерес представляет вопрос, можно ли получить n! менее, чем за n шагов.  Найти 25 минимальных последовательностей, оканчивающихся факториалами чисел от 13 до 37, и должны участники конкурса.

Задача обсуждается на русском научном форуме

Официальный сайт конкурса

Напомню, что я недавно задавал задачку про последовательность, и в комментариях с тех пор дал пару подсказок.

среда, 23 января 2013 г.

Распределение обязанностей

Одному профессору часто приходили письма с попытками доказательства Великой теоремы Ферма. Она завёл себе форму стандартного ответа:

Уважаемый ________
Мы рассмотрели вашу работу, в ней используется интересный подход, однако на странице ___ строке ___ допущена ошибка, которая делает ложными все последующие рассуждения.
С уважением, проф. такой-то

Заполнять пропуски он поручал своим аспирантам :)

вторник, 22 января 2013 г.

Доказательство Великой теоремы Ферма

В академию наук приходит телеграмма:

"Найдено доказательство теоремы Ферма. Основная идея - перенос yn в правую часть. Высылайте премию. После получения подробности письмом".

понедельник, 21 января 2013 г.

Продолжите последовательность

Вот такая интересная последовательность: 9, 171, 27, 4, 9, 59, 18, 4, 18, 81, 9, 581,...
Продолжите её.

Подскажу, что лет 10 назад её разгадывать было бы намного сложнее.

Используемая система десятичная, никаких лингвистических подвохов, только математика.

вторник, 1 января 2013 г.

C Новым 2013 Годом!!!

Интересная гипотеза существует относительно числа 2013. Если взять степень двойки и записать её в троичной системе, то там никогда не окажется 2013 нулей.

Желаем вам в Новом году интересных задач и красивых решений!

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время узор корень задача структура тригонометрия е сайты формулы игра конструкция факториал функции приближение программа фрактал график последовательность комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм неизвестное треугольник интеграл уравнение видео комплексные магический квадрат палиндром правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр