суббота, 26 ноября 2011 г.

Восстановите шедевры живописи

Сегодня в большой интернет я выпустил свою новую игру, Save the Paintings. В ней вам нужно спасти всемирно известные картины, которые внезапно исчезли.

Умение рисовать не нужно - главное правильно расположить элементы.

Игра есть здесь и здесь. На обоих порталах проходит конкурс и, если игра понравится, можно поддержать её своими голосами.

пятница, 25 ноября 2011 г.

Три простых множителя

Число 2012 открывает серию из четырёх чисел, каждое из которых представляется в виде произведения ровно трёх простых.
2012 = 2 * 2 * 503
2013 = 3 * 11 * 61
2014 = 2 * 19 * 53
2015 = 5 * 13 * 31

А существуют ли более длинные серии из подобных чисел?

четверг, 24 ноября 2011 г.

Вставляем цифры

Если в простое число 999997600699 в начало, конец и между каждой парой цифр добавить одинаковые нечётный цифры: 1, 3, 7 или 9, полученное число будет простым.

Числа
1919191919171610101619191,
3939393939373630303639393,
7979797979777670707679797,
9999999999979690909699999 - простые.

Число нашёл Anton Vrba на PrimePuzzles.net
 

среда, 23 ноября 2011 г.

Календарь-додекаэдр

На Хабрахабре passerby опубликовал ссылку на свой генератор календарей. Этот генератор может составлять календари в различных системах счисления, а также располагать их как на обычных прямоугольных листах, так и на развёртках многогранников.


вторник, 22 ноября 2011 г.

Маршруты шахматного коня

Известна задача об обходе всех полей доски n x m шахматным конём. У неё есть интересная вариация: эту доску нужно обойти конём, сделав максимально возможное число шагов так, чтобы маршрут не содержал пересекающихся участков.

Эту задачу успешно решают для всё больших и больших значений n и m мои коллеги Наталия Макарова (также исследовательница магических квадратов) и Алексей Чернов. Результаты представлены в базе данных. Вот, например, один из двух вариантов замкнутого пути по обычной шахматной доске 8 на 8:

Кроме коня там также есть база данных путей фантастических фигур: жирафа (ходит на 3 клетки в одном направлении и 1 в другом), зебры (3 и 2 клетки, соответственно) и антилопы (4, 3). Все, желающие принять участие в исследованиях, могут пополнять эту базу своими результатами.

понедельник, 21 ноября 2011 г.

Нумерация кубов

Эти кубы обладают следующим свойством. Число на каждой грани указывает, сколько чисел на смежных гранях не равны ему.

воскресенье, 20 ноября 2011 г.

Теорема Пифагора

Среди многочисленных доказательств теоремы Пифагора особенно наглядны те, где квадраты, построенные на катетах разрезаются на части и из этих частей формируется квадрат, построенный на гипотенузе.

Вот один из таких способов, указанных в англоязычной Википедии:

Кстати, почти всегда англоязычные математические статьи в Википедии полнее и интереснее русскоязычных. имейте это в виду, если ищете информацию. А если есть возможность и время - можете помочь русскоязычному разделу, пополняя его переводами с английского.

суббота, 19 ноября 2011 г.

Разрезание пиццы

разрезание пиццы
Прочитал у Константина Кнопа, что если выбрать в круглой пицце произвольную точку и провести из неё разрезы через 45 градусов, то сумма площадей чётных частей будет равна сумме площадей нечётных частей.

Интересно, подумаю над доказательством.

пятница, 18 ноября 2011 г.

Преобразовать произведение синусов в сумму

Формула преобразования произведения двух синусов в сумму изучается в школе. А иногда требуется преобразовать в сумму произведение трёх синусов.

Конечно же, это можно сделать, дважды применив формулу для двух аргументов, однако формула для трёх синусов сама по себе достаточно красивая и мне захотелось привести её здесь.


На саму формулу я наткнулся в статье о целочисленных углах.

четверг, 17 ноября 2011 г.

2012

Потихоньку собираю информацию об интересных свойствах числа 2012, номере будущего года. Оказывается, в 2012 году будет 3 пятницы, выпадающих на 13-е число. Предыдущий раз такое случалось в 2009 году. И так же, как и в 2009, в 2012 году будет месяц, в котором дважды произойдёт полнолуние.

А начнётся год с воскресенья, как и 2006-й.

среда, 16 ноября 2011 г.

Максимизировать отношение

Недавно Сергей Тихонович Кузнецов загадал мне задачу.

Человек, находясь в стороне от дороги, заметил автобус. В какую точку дороги ему необходимо идти, чтобы успеть на автобус, двигаясь с как можно меньшей скоростью?


Геометрически эта задача представляется следующим образом. Прямая АС - дорога, автобус находится в точке А и движется вправо. Пешеход находится в точке В и должен направляться в некоторую току С так, чтобы отношение отрезков АС и ВС было максимальным.

При этом угол ВАС и длина отрезка АВ фиксированы, а результат зависит от величины угла АВС.

Сначала я, чисто по инерции, решил её как задачу на экстремум функции. Однако затем увидел красивое геометрическое решение, опирающееся на теорему синусов (я её специально предварительно привёл в блоге :) )


А так как синус не может превышать единицы, то нужно двигаться под прямым углом к исходном направлению на автобус.

Заметим, что решение существует лишь для острого угла между дорогой и направлением на автобус.

вторник, 15 ноября 2011 г.

Двумя способами

С математической точки зрения число 50 интересно тем, что это - наименьшее натуральное число, которое представляется в виде суммы двух квадратов натуральных чисел двумя способами.

50 = 49 + 1 = 25 + 25.

Если заменить слово "натуральных" словом "целых", то наименьшим числом такого рода будет 25:
25 = 16 + 9 = 0 + 25.

Оказывается есть простой способ определить, представимо ли число в виде суммы двух квадратов двумя способами. Для этого оно должно иметь в своём разложении как минимум 2 (не обязательно различных) простых множителя, дающих остаток 1 при делении на 4. А количество простых множителей, дающих остаток 3 при делении на 4 должно быть чётным.

Например, число 305 = 5 х 61. И 5 и 61 дают остаток 1 при делении на 4. Множителей, дающих остаток 3 в его разложении нет, т.е. их 0 штук - чётное число. Значит, 305 представляется в виде 305=42+172=72+162.

Зная это, подобные числа можно конструировать. Возьмём простое число 5, умножим его на простое число 13, и дважды умножим на простое число 3. Полученный результат 585 представляется как:

585=32+242=122+212.

понедельник, 14 ноября 2011 г.

Теорема синусов

Пусть в треугольнике со сторонами a, b, c углы равны 


В треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла будет постоянным.


Кстати, обратите внимание, как расположены углы. Традиция именования углов состоит в том, что угол и сторона, обозначаемые соответственными буквами, не являются смежными.


воскресенье, 13 ноября 2011 г.

50

Пятьдесят -  это не обычное число. Пятьдесят - это необычное число.

Гарик Мартиросян в номере "Караоке" на юбилейной игре КВН.

суббота, 12 ноября 2011 г.

Кольца Борромео

Кольца Борромео - это интересная конструкция, состоящая из трёх колец, никакие два из которых не зацеплены. В то же время не разрывая какое-либо из колец, остальные не отделить.
Происходит её название от фамилии итальянского семейства Борромео.

четверг, 10 ноября 2011 г.

Среднее геометрическое

Ещё один способ получить среднее для нескольких чисел - это их перемножить, а затем извлечь корень такой степени, сколько чисел перемножалось.

Что же в этом геометрического? Для двух положительных чисел a, b среднее, полученное таким методом, будет равно стороне квадрата, имеющего ту же площадь, что и прямоугольник со сторонами a и b.

Среднее геометрическое называют также средним пропорциональным, и вот почему. Рассмотрим пропорцию:
По свойству пропорции,  x= ab, т.е. x будет являться средним геометрическим (пропорциональным) чисел a и b.

среда, 9 ноября 2011 г.

Правильный вынос из-под корня

Стабильно в первую пятёрку самых читаемых постов блога "Десять Букв" входит заметка о правильно-неправильном выносе из-под корня. Причём люди попадают сюда просто в поисках правил выноса из-под корня. На всякий случай, чтобы не вводить читателей в заблуждение, подчеркну, что в описанном там случае мы получаем правильный результат, выполняя неправильные действия, и в общем случае равенство
в котором под корнем смешанное число, выполняться не будет. (А поиск таких значений a, b, c, при котором оно верно - задача интересная. Но я публиковал её тогда, когда у блога было мало читателей, и комментариев пока нет.)

Чтобы выполнить вынос из-под корня правильно, нужно подкоренное число представить в виде произведения чисел, одно из которых является полным квадратом. Например:

А корень из дроби  является частным от деления корня из числителя на корень из знаменателя.

Любителям же математических головоломок предлагаю рассмотреть пример ещё одно неправильного выноса:

Существуют ли другие числа, для которых подобное возможно?

вторник, 8 ноября 2011 г.

Средние в трапеции

Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому её оснований. А длина отрезка, соединяющего боковые стороны, проведённого через точку пересечения диагоналей, параллельно основаниям трапеции, равна среднему гармоническому оснований.

понедельник, 7 ноября 2011 г.

Среднее гармоническое

Решая задачу о средней скорости автобуса, мы получили значение, что находится между его наибольшей и наименьшей скоростями, но в то же время меньшее их среднего арифметического.

Выражение формула среднего гармонического, по которому она была найдена, называется средним гармоническим чисел a и b. Глядя на формулу, не очевидно, что она даст некоторое число между a и b, однако это так. Здесь просто совмещены несколько шагов, которые нужно сделать, чтобы найти среднее гармоническое.

Сначала каждое из чисел a, b, нужно заменить его обратной величиной. Затем найти среднее арифметическое этих обратных величин:
формула среднего гармонического
И, наконец, снова выполнить переворот дроби, получая приведённую выше формулу.

Среднее гармоническое никогда не превышает среднего арифметического, и равно ему, если равны числа от которых оно берётся.

суббота, 5 ноября 2011 г.

Средняя скорость

Классическая задача, в которой автобус едет из пункта А в пункт В со скоростью 40к/ч, а возвращается со скоростью 60 км/ч, часто направляет по ложному следу школьника, которому необходимо найти среднюю скорость.

Очевидный шаг - найти среднее арифметическое скоростей "туда" и "обратно", дающий ответ 50 км/ч, является неправильным. И вот почему: двигаясь с меньшей скоростью, автобус затратит большее время на путь, следовательно, эта скорость окажет большее влияние на среднюю. Рассмотрим крайний случай: скорость "туда" равна 100 км/ч, а обратно - 0 км/ч. Среднее арифметическое этих скоростей, опять-таки, 50 км/ч, но в данном случае автобус и вовсе не прибудет в пункт А.

Чтобы правильно решать подобные задачи, необходимо вспомнить определение средней скорости. Средняя скорость является отношением всего пройденного расстояния к общему затраченному времени.

Пусть расстояние между пунктами равно s. Тогда автобус прошёл расстояние, равное 2s. Времени на путь из А в В он затратил s/40 ч, а на обратный - s/60 ч. Общее время составит:

Теперь можно находить среднюю скорость.

пятница, 4 ноября 2011 г.

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга позволяет находить приближённое значение факториала числа n, не выполняя множество умножений.

К примеру, для n=10 она даёт 3598695,6..., а 10!=3628800

четверг, 3 ноября 2011 г.

Прямые общего положения

Общим положением называется такое расположение прямых, при котором никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку.

На сколько частей (открытых и закрытых) разобьют n таких прямых плоскость?

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл магический квадрат палиндром уравнение видео комплексные правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр