четверг, 30 сентября 2010 г.

Двоичная система счисления

При записи чисел в десятичной системе счисления крайняя справа цифра означает количество единиц, следующая - десятков, далее - сотен, тысяч, десятков тысяч и т.д.
К примеру, 12365 = 5x100+6x101+3x102+2x103+1x104

Таким образом, для записи сколь угодно большого числа можно обойтись десятью разными цифрами. Но можно записывать любое число даже с помощью всего двух разных цифр: 0 и 1. Тогда цифры в соответствующих разрядах будут обозначать вхождение в число степеней двойки.

Число (1001011)2 = 1*20+1*21+0*22+1*23+0*24+0*25+1*26 = 1+2+8+64=(75)10

среда, 29 сентября 2010 г.

Принцип симметрии

Есть известная задача о стакане воды и бидоне молока. Из стакана воды ложку воды перелили в бидон молока, размешали, и затем перелили ложку смеси обратно в стакан воды. Чего больше: воды в молоке или молока в воде?

Задача, которую иногда пытаются решить с помощью сложных вычислений с дополнительными переменными, решается устно, если обратить внимание на простой факт. Т.к. объём, занятый в стакане воды, не изменился, то объём убывшей воды заменился объёмом прибывшего молока. Так что эти объёмы одинаковы, ведь вода из стакана убыла именно в бидон молока.

вторник, 28 сентября 2010 г.

Как превратить число в цепную дробь

Для этого нужно повторять действия взятия целой части числа и нахождения обратной величины от результата.
Пример: представить в виде цепной дроби число  дробь

разложение дроби в цепную

Таким образом, искомая цепная дробь имеет вид [1, 1, 4, 4]

понедельник, 27 сентября 2010 г.

Е в виде цепной дроби

Число е является трансцендентным, поэтому его цепная дробь непериодична. Но всё же явная закономерность в ней есть:
Представление числа е в виде цепной дроби

Удобнее записывать разложение числа в цепную дробь так:
e=[2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, ...]

воскресенье, 26 сентября 2010 г.

пятница, 24 сентября 2010 г.

Компьютеру виднее

Реальный случай. Учу своих курсантов вычислять в Экселе формулы. И вот попросил одного товарища вычислить синус тридцати градусов.
Формула =sin(30), введённая им в ячейку дала результат -0,988, который и был предъявлен мне
Решил проверить понимание. Интересуюсь:
- Вы тут ничего подозрительного не замечаете?
- Нет...
- Но помните, в школе вы учили таблицы значений синуса? Помните, что там синус тридцати был равен одной второй?
- Да, вроде бы...
- А почему тут получилось другое значение?
- Ну, это компьютер точнее считает.

четверг, 23 сентября 2010 г.

2 - число составное

Да-да, на множестве целых комплексных чисел (вида a+bi, где a, b - целые, а i2=-1) число 2 раскладывается на множители как:
2=(1+i)(1-i)

среда, 22 сентября 2010 г.

Безумная гравитация

Как-то, моделируя гравитационное взаимодействие, я задумался: а что было бы, если на определённом расстоянии от тела притяжение сменялось отталкиванием? Как бы тогда выглядели траектории планет?

Как оказалось, они бы двигались по довольно замысловатым траекториям. Убедиться в этом можно, скачав соответствующую программу. Управление в ней простое: левый щелчок - добавить лёгкую планету, Ctrl+левая кнопка - добавить тяжёлую планету. Правая кнопка - очистить экран от следов планет.

Вокруг каждой планеты, чередуясь, идут по 4 зоны отталкивания и притяжения. В результате получается что-то вроде этого:

Скачать программу моделирования гравитации (150 кБ)

вторник, 21 сентября 2010 г.

Нарочно не придумаешь

Вот какую задачу предлагается решить одиннадцатиклассникам при изучении темы Интегралы:

"Скорость движения точки задана уравнением v=3cos t (м/с). Найти уравнение движения, если в начальный момент времени точка находилась на расстоянии 2 м от начального положения."

Понятно, что авторы имели в виду, что x0=2 (м), однако такая формулировка задачи заставляет представлять точку, которая в начале движения отстоит от самой себя на 2 метра! о_О Это уже квантовая механика получается - в ней, согласно принципу неопределённости, невозможно, однозначно определив импульс частицы, точно установить её координаты. :)

понедельник, 20 сентября 2010 г.

3816547290

Это число интересно тем, что все его 10 цифр различны и
число, образованное его первой цифрой (3) делится на 1
число, образованное его первыми 2мя цифрами (38) делится на 2
число, образованное его первыми 3мя цифрами (381) делится на 3
число, образованное его первыми 4мя цифрами (3816) делится на 4
число, образованное его первыми 5ю цифрами (38165) делится на 5
число, образованное его первыми 6ю цифрами (381654) делится на 6
число, образованное его первыми 7ю цифрами (3816547) делится на 7
число, образованное его первыми 8ю цифрами (38165472) делится на 8
число, образованное его первыми 9ю цифрами (381654729) делится на 9
число, образованное его первыми 10ю цифрами (3816547290) делится на 10.

суббота, 18 сентября 2010 г.

пятница, 17 сентября 2010 г.

0=1

По формуле интегрирования частями
Формула интегрирования по частям
Применим её для вычисления интеграла
интеграл 1/х
Подставим
Подстановка для интегрирования по частям
Тогда
Формула интегрирования по частям
Таким образом,
Равенство интегралов
И, вычтя из левой и правой части равенства по исходном интегралу, получим:
0=1

вторник, 14 сентября 2010 г.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся пятёркой, нужно умножить число, полученное отбрасыванием последней пятёрки на следующее в натуральном ряду, и к результату приписать 25.

Примеры:
652
Умножаем 6 на 7, получаем 42. Приписываем 25, получаем 4225.

1152
Умножаем 11 на 12, получаем 132. Приписываем 25, получаем 13225.

Математическое обоснование:
Возведём в квадрат число 10n+5. (10n+5)2 = 100n2+100n+25 = 100n(n+1)+25, откуда и следует данное правило.

понедельник, 13 сентября 2010 г.

Ко Дню программиста :)

Взял и добавил несколько настроек к своей программе "Жизнь бактерий".

Можно регулировать:
  • Количество видов бактерий (Number of Species)
  • Считаются ли клетки, соединённые по диагонали, соседями (если выбрать Neighborhood rule von Neumann, то не считаются, если Moore - то да).
  • Правило, по которому для бактерии определяется вид, которым она питается (к примеру, Bacteria No n eats bacterii No n+2 означает, что 1й вид питается 3м, 2й - 4м и т.д.)
  • Гарантированно ли охотник съедает свою добычу (чтобы дать добыче шанс установите Probability of eating менее 100).

Варьируя данные параметры, можно получать интересные результаты. К примеру, эта картинка:

Узор из программы Жизнь бактерий

Получена для 32 видов бактерий, окрестности Мура, и правила питания "n-я бактерия питается (n+2)й"

Скачать Lifecycle v.1.1. (165кБ)

воскресенье, 12 сентября 2010 г.

Кривая Коха

Давненько не было фракталов :)
Итак, Кривая Коха или Снежинка Коха строится так: В равностороннем треугольнике каждая сторона делится на три равные части, и на средних отрезках сторон строятся наружу равносторонние треугольники. Эту итерацию повторяют бесконечное число раз для каждого из отрезков ломаной, получившейся на предыдущем шаге.
построение кривой Коха

На рисунке приведено несколько вспомогательных линий для иллюстрации способа построения.

суббота, 11 сентября 2010 г.

Принцип Дирихле

В городе с населением в 300 тысяч человек наверняка найдутся трое, у которых одинаковое количество волос на голове.

Действительно, ведь т.к. у человека на голове не более 140 тысяч волос, среди 140 001 человека обязаны найтись двое с одинаковым их количеством. А если рассмотреть группу, большую чем 280 тысяч, тот непременно найдутся уже трое.

пятница, 10 сентября 2010 г.

четверг, 9 сентября 2010 г.

Гости и зонты

Есть такая задача:
В гости пришло n человек, т.к. в это время шёл дождь, все они были с зонтами. Расходились они в темноте, и каждый взял случайный зонт. Какова вероятность того, что ни один гость не ушёл со своим зонтом?

Для n=2 искомая вероятность , для троих гостей - , для четверых - , а с ростом n эта вероятность будет стремиться к

среда, 8 сентября 2010 г.

Мгновение арифметической прогрессии

Сегодня, пока большинство из нас досматривали предрассветные сны, наступила удивительная секунда.
А именно: 5 часов утра, 6 минут и 7 секунд 8 числа 9 месяца 10 года.

вторник, 7 сентября 2010 г.

Как запомнить число e

Способ помнить е простой - два, семь, дважды Лев Толстой.

Дело в том, что 1828 - год рождения Льва Николаевича Толстого.
e=2,718281828...

В связи с этим есть шутка.
Люди делятся на 3 категории:
Те, кто запоминает число е через год рождения Льва Толстого,
Те, кто запоминает год рождения Льва Толстого через число е (к этой отношусь я :) ),
И те, кому наплевать, и на число е, и на Льва Толстого.

понедельник, 6 сентября 2010 г.

Второй замечательный предел.

Допустим, мы кладём 1 доллар на счёт под 100% годовых с выплатой процентов в конце срока. Через год у нас будет 2 доллара.

А что если на вклад будет начисляться по 50% каждые 6 месяцев? Тогда черед полгода у нас будет 1,5 доллара, а через год 1,5x1,5=2,25 доллара, что больше двух долларов.

А если каждый квартал вклад будет увеличиваться на 25%?
В конце первого квартала на счету будет 1,25 доллара. Через полгода 1,251,5625. Через девять месяцев - 1,5625x1,25=1,953125. А через год начислится 1,953125x1,25=2,44140625 - ещё больше, чем в предыдущем случае.

Будет ли получаемая сумма расти неограниченно с уменьшением сроков выплат процентов? Посмотрим, что будет с ежедневным начислением  процента. По аналогии с предыдущими вычислениями можно получить, что сумма на счету составит
Рост по сравнению с ежеквартальным начислением незначительный.

Так вот, оказывается, что если продолжать уменьшать сроки между выплатами практически до нуля, вклад в конечном счёте увеличится в раз.

Число е играет важную роль в математике, в частности, в описании процессов, связанных с ростом.

воскресенье, 5 сентября 2010 г.

Почему же гиперболические?

Почему же функции sh, ch, th называются гиперболическими синусом, косинусом и тангенсом?
Вспомним, как определяются значения тригонометрических функций для произвольного t.


определение тригонометрических функций синус и косинус

Если на единичной окружности, задаваемой уравнением x2+y2=1, отложить от оси ОХ против часовой стрелки угол t, то синусом его будет проекция соответствующей точки окружности на ось у, а косинусом - на ось х.

Заметим также, что угол t численно равен площади S вырезаемого им сектора окружности (примем, что при каждом переходе через полный круг, площадь всё увеличивается).

Гиперболические функции определяются аналогичным образом через гиперболу x2-y2=1 (как я рассказывал, гипербола - это не только график обратной пропорциональности)


Гиперболические синус и косинус будут проекциями точки пересечения луча, пущенного из начала координат с этой гиперболой на оси у и х, соответственно. Параметром t  соответствующих функций берётся удвоенная площады S, заключённая между лучом, гиперболой и осью ОХ (если луч откладывается в нижнюю полуплоскость, берётся знак минус).

суббота, 4 сентября 2010 г.

Настраиваемый геймплей в CardWars

По итогам обсуждения своей игры на форумах, подготовил релиз для экспериментов с управлением и геймплеем. Можно регулировать механику игры в области сражений, раздачи карт, видимости карт противника и управления выбором опций Меню.
Скачать CardWars Flexible Gameplay Edition
Можно скачать только файл CardWarsFGE.exe (1 Мб) и поместить его в вашу папку с CardWars 0.5.2
Или, если вы версию 0.5.2 не скачивали, скачать полный архив (1,8 Мб)
Регулируются следующие параметры:
  • Будет ли гарнизон, потерявший 50% карт, отступать, или сражаться до конца
  • Будут ли провинции терять ход после атаки/захвата/прихода подкреплений
  • Будут ли несколько одинаковых карт в колоде усиливать друг друга в битве
  • Меру случайности в раздаче карт
  • Будет ли игрок получать по 1 карте за каждую контролируемую провинцию, или только за те, которые на этом ходу не участвовали в битве
  • Будет ли игрок видеть все карты противника, только верхнюю в каждой колоде или вообще лишь количество карт.
Также можно включить другой режим управления, в котором все действия выполняются левой кнопкой мыши, а правая служит для входа в окно сортировки карт.
Пожалуйста, попробуйте разные режимы и укажите, какие режимы игры понравились больше.

пятница, 3 сентября 2010 г.

Гиперболический тангенс

По аналогии c тригонометрическим, гиперболический тангенс - частное гиперболических синуса и косинуса.

График его имеет две горизонтальные асимптоты: y=1 в положительном направлении и  y=-1 - в отрицательном.

Благодаря тому, что вблизи нуля функция изменяется быстро, а вдали от него - всё медленнее, гиперболический тангенс, наряду с другими функциями с таким свойством, используется при моделировании нейронных сетей.

четверг, 2 сентября 2010 г.

Гиперболический синус

Гиперболическим синусом называется функция


Разность квадратов гиперболических косинуса и синуса равна единице, так же как и сумма квадратов синуса и косинуса тригонометрических.

среда, 1 сентября 2010 г.

Как опубликовать математическую статью

Поздравляю с началом учебного года! Начнём его с математического юмора.

Допустим, вы хотите опубликовать что-то вроде
1+1=2
Для научной статьи это не очень впечатляюще. Поэтому усложните левую часть, используя:
1=ln(e) и 1=sin2x+cos2x
А правая часть может быть превращена в

Таким образом, исходное уравнение может быть представлено в более "научном" виде как

что намного более внушительно. Однако не стоит останавливаться на достигнутом. Выражение можно усложнить далее, используя
 и 
Таким образом, исходное выражение может быть записано как:


Его можно спокойно публиковать в серьёзном журнале.

Примечание: Поняв основной принцип, можете использовать и другие преобразования для поднятия своего престижа.

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл уравнение видео комплексные магический квадрат палиндром правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр