пятница, 5 октября 2012 г.

Цепная дробь из корня

Способ разложения числа в цепную дробь с помощью калькулятора имеет ограничения точности. Но, оказывается, для квадратных корней существует способ получения цепной дроби любой длины, требующий лишь ручки и бумаги. Разложим с его помощью корень из 503, который нам был нужен для решения уравнения Пелля.

 Для начала выделим в корне целую часть. Так как 222 = 484, а 232 = 529, то
разложение корня в цепную дробь

 Итак, искомое разложение начнётся как [22, ....]

 Превратим дробную часть в дробь с числителем 1:
  разложение корня в цепную дробь

 Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, воспользовавшись тем, что:
разложение корня в цепную дробь

 Получим:
разложение корня в цепную дробь

 Теперь выделим у дроби целую часть:
  разложение корня в цепную дробь

 Получили второй член разложения: [22, 2, ....] А в целом цепная дробь сейчас выглядит так:
 разложение корня в цепную дробь

Перевернём теперь дробную часть ещё раз:
разложение корня в цепную дробь

 Внимание! Здесь начинается особая математическая магия! Дело в том, что знаменатель обязательно должен разделиться на целый множитель числителя. Очень рекомендую это доказать - удовольствие гарантировано.

 Действительно, здесь тоже имеем:
  разложение корня в цепную дробь

 И выделение целой части даёт нам новый член разложения: [22, 2, 2, ....]

 Вот новое звено цепной дроби:
  разложение корня в цепную дробь 

Данный процесс можно продолжать. Когда получим на каком-либо шаге дробь, которая получалась ранее (а мы обязательно получим такую, это тоже можно доказать), соответствующий участок разложения зациклится.

 Вот так можно получить цепную дробь любого корня без каких-либо электронных вычислительных средств. А вообще, самый простой способ - это вбить в ВольфрамАльфе: continued fraction, а затем в новом открывшемся окошке написать sqrt(503)

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл магический квадрат палиндром уравнение видео комплексные правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр