воскресенье, 17 февраля 2013 г.

Обман зрения в геометрии

Часто при доказательстве теоремы Пифагора используется метод разрезания и перекладывания частей. Однако не следует забывать, что используя такой путь следует строго доказывать, что мы получили именно ту фигуру, которую хотели. Иначе могут возникать ситуации, подобные следующей:

Возьмём квадрат 8 на 8 и разрежем его на 4 части:

Теперь переложим части вот так:
Получается, что из одних и тех же частей состоят и квадрат площадью 64 и прямоугольник площадью 65.



Но это не всё - переложив части вот так:


Получаем фигуру площадью 63 (по 30 на каждый из боковых прямоугольников и 3 на "перешейке").

На самом же деле составные части второй и третьей фигур не равны тем частям, из которых состоит исходный квадрат. Для третьей фигуры чтобы убедиться в этом достаточно внимательно взглянуть на два угла по 270 градусов.

Ошибка же в первом построении, которое часто приводится на развлекательных сайтах как "опровержение" геометрии, находится исходя из подобия фигур.

Катеты жёлтого треугольника в исходном квадрате относятся как 3:5. Катеты треугольника, составленного из синей и жёлтой фигур на втором чертеже относятся как 5:13. Так как жёлтый треугольник на втором чертеже отрезан линией, параллельной стороне прямоугольника, то и его катеты должны относиться как 5:13. Но отношения 5:13 и 3:5 не равны между собой, так что на двух чертежах желтым цветом обозначены разные фигуры.

Если попробовать аккуратно вырезать все части квадрата из бумаги и переложить, окажется, что "дополнительная" клетка будет длинным отверстием, идущим вдоль диагонали прямоугольника.

Вот как это будет выглядеть на самом деле:



Кстати, такой обманный чертёж можно сделать, взяв любые 3 последовательные числа ряда Фибоначчи. Здесь мы квадрат 8 на 8 показывали равным прямоугольнику 5 на 13, а можно покзаать, что квадрат 13 на 13 "равен" прямоугольнику 8 на 21.

5 комментариев:

  1. Я хочу свою статью отправить,как это сделать?
    Надежда Токарева

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Чтобы опубликовать в блоге? Буду очень рад! :)
      Пришлите, пожалуйста, её на intelmath@yandex.ru

      Удалить
  2. Анонимный17/4/15 19:25

    Хай пипл некто не знает задачу (Я чес слово забыл как она назвывается) Примерно так: Три секции угла. Есть ли такая?? И решена ли???

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Да-да, трисекция угла. Суть в том, что нужно научиться любой угол разделить на 3 равных части, имея только циркуль и линейку

      Удалить
  3. Анонимный22/6/15 08:23

    Задача о трисекции угла решена. Доказано, что разделить угол на три равные части с помощью циркуля и линейки не возможно.

    ОтветитьУдалить

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время узор задача корень структура тригонометрия е конструкция сайты формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл уравнение видео комплексные магический квадрат палиндром правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр