Любые цифры в степени двойки

А вы знали, что для любой заданной наперёд последовательности цифр найдётся степень двойки, с этой последовательности начинающаяся? Например первые 4 цифры числа $2^{9645}$ будут 2718 - такие же, как и у числа e, а десятичная запись степени $2^{1363}$ начинается с 2013, номера текущего года.

Доказывается это вот как:
Допустим, нам нужно найти такую степень двойки, которая бы начиналась с цифр 123. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$123\cdot 10^n\leq 2^x<124 \cdot 10^n\leq 2^x$

Прологарифмировав его по основанию 2, получим:
$\log_2 123+n\log_2 10\leq x<\log_2 124+n\log_2$

Задача стоит в том, чтобы подобрать натуральное n такое, чтобы между числами $\log_2 123+n\log_2 10$ и $\log_2 124+n\log_2 10$ поместилось натуральное число х.

Расстояние между границами будет равно $\log_2 124-\log_2 123\approx0,012$ Значит, $\{\log_2 123+n\log_2 10\}\geq 0,989$ (фигурными скобками обозначается мантисса, дробная часть числа.)

Так как $\log_2 10$ - иррациональное число и приближается обыкновенной дробью с любой точностью, то обязательно найдётся такой целый множитель, который обеспечит величину дробной части выражения в необходимых пределах.

Для конкретного примера n=25: $\log_2 123+25\log_2 10\approx88,9907$. И $2^{90} = 123...$

Спасибо читателю блога Никите, который в комментарии к новогоднему посту указал на такое развитие темы.