среда, 27 февраля 2013 г.

Любые цифры в степени двойки

А вы знали, что для любой заданной наперёд последовательности цифр найдётся степень двойки, с этой последовательности начинающаяся? Например первые 4 цифры числа $2^{9645}$ будут 2718 - такие же, как и у числа e, а десятичная запись степени $2^{1363}$ начинается с 2013, номера текущего года.

Доказывается это вот как:
Допустим, нам нужно найти такую степень двойки, которая бы начиналась с цифр 123. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$123\cdot 10^n\leq 2^x<124 \cdot 10^n\leq 2^x$

Прологарифмировав его по основанию 2, получим:
$\log_2 123+n\log_2 10\leq x<\log_2 124+n\log_2$

Задача стоит в том, чтобы подобрать натуральное n такое, чтобы между числами $\log_2 123+n\log_2 10$ и $\log_2 124+n\log_2 10$ поместилось натуральное число х.

Расстояние между границами будет равно $\log_2 124-\log_2 123\approx0,012$ Значит, $\{\log_2 123+n\log_2 10\}\geq 0,989$ (фигурными скобками обозначается мантисса, дробная часть числа.)

Так как $\log_2 10$ - иррациональное число и приближается обыкновенной дробью с любой точностью, то обязательно найдётся такой целый множитель, который обеспечит величину дробной части выражения в необходимых пределах.

Для конкретного примера n=25: $\log_2 123+25\log_2 10\approx88,9907$. И $2^{90} = 123...$

Спасибо читателю блога Никите, который в комментарии к новогоднему посту указал на такое развитие темы.

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е конструкция сайты формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл уравнение видео комплексные магический квадрат палиндром правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр