Восхитительное число

Многим любителям занимательной математики знакомы совершенные числа. Это такие числа, которые равны сумме всех своих собственных делителей (т.е. делителей, меньших самого числа). Пример совершенного числа - число 28. Оно делится на 1, 2, 4, 7 и 14, а сумма 1+2+4+7+14 = 28

Совершенных чисел очень мало. Намного чаще втречаются восхитительные числа. Это такие числа, которые сумме всех своих делителей, если один из делителей взять со знаком минус.

Как раз примером восхитительного числа является номер будущего года, число 2022.

Делителями числа 2022, меньшими его самого, являются числа: 1, 2, 3, 6, 337, 674, 1011. А значение выражения 1+2+3-6+337+674+1011 = 2022

Уважаемые читатели! Поздравляем вас с Новым, 2022-м годом! Учитывая перечисленные в нашем блоге интересные свойства числа 2022, желаем радости, счастья и восхитительных событий!

Делимость степеней

Как мы выяснили вчера, число 2022 делится на сумму своих цифр.

Оказывается, такое же свойство имеют и степени числа 2022 по 7-ю включительно. То есть:

2022² = 4 088 484. Это число делится на 36 = 4+0+8+8+4+8+4

2022³ = 8 266 914 648. Это число делится на 54 = 8+2+6+6+9+1+4+6+4+8

2022⁴ = 16 715 701 418 256. Это число делится на 54 = 1+6+7+1+5+7+0+1+4+1+8+2+5+6

2022⁵ = 33 799 148 267 713 632. Это число делится на 81= 3+3+7+9+9+1+4+8+2+6+7+7+1+3+6+3+2

2022⁶ = 68 341 877 797 316 963 904. Это число делится на 108 = 6+8+3+4+1+8+7+7+7+9+7+3+1+6+9+6+3+9+0+4

2022⁷ = 138 187 276 906 174 901 013 888. Это число делится на 108 = 1+3+8+1+8+7+2+7+6+9+0+6+1+7+4+9+0+1+0+1+3+8+8+8

Делимость на сумму цифр

Число 2022 открывает серию из четырёх чисел, каждое из которых делится на сумму своих цифр.

2022 делится на 2+0+2+2 = 6, в частном получается 337

2023 делится на 2+0+2+3 = 7, в частном получается 289

2024 делится на 2+0+2+4 = 8, в частном получается 253

2025 делится на 2+0+2+5 = 9, в частном получается 225

Числа с таким свойством называются числами Нивена или числами харшад. Второе название происходит от санскритского "харша", «великая радость» и названы так исследовавших им Капрекаром.

Задача на миллион долларов

Рассмотрим равенство в натуральных числах
A^x+B^y=C^z,
где показатели степерь больше двух.

Во всех удовлетворяющих условию примерах числа A, B и С имеютобщий делитель. Например:
3⁶+18³=3⁸

3³ + 6³ = 3⁵

7³ + 7⁴ = 14³

Американский миллиардер Эндрю Бил, банкир и любитель математики. предложил в 1993 году премию в 100 000  долларов за нахождение контрпримера, а в 200 году повысил сумму до миллиона.

Суперсовершенные числа

Про совершенные числа знают многие любители занимательной математики. А число, для которого сумма делителей его суммы делителей вдвое больше самого числа, называется суперсовершенным.

Например, число 16 делится на 1, 2, 4, 8, 16. Сумма его делителей равна 1+2+4+8+16 = 31

Число 31 делится на 1 и на 31. Сумма его делителей равна 1+31 = 32, что вдвое больше 16-ти.

Пока что все известные суперсовершенные числа чётные (между прочим, хорошим упражнением для ума было бы определить, какими дополнительными свойствами они должны обладать). Нечётные суперсовершенные числа, если они существуют, должны быть полными квадратами.

Не 142857 единым...

Многие любители занимательной математики знают о чудестном свойстве числа 142857. Циклическая перестановка цифр в нём позволяет получить его же, умноженное на 2, 3, 4, 5 и 6.

Поэтому при решении задачи о поиске шестизначного числа, которое увеличивается в целое число раз после перестановки последней цифры в начало, число 142857 первым приходит в голову как вероятный ответ. Однако, оказывается, таким свойством обладают много больше чисел.

Вот все они:
102564 х 4 = 410256
128205 х 4 = 512820
142857 х 5 = 714285
153846 х 4 = 615384
179487 х 4 = 717948
205128 х 4 = 820512
230769 х 4 = 923076

Практичное число 2016

За пару месяцев доНового Года начнём собирать интересные свойтсва числа 2016.

Вот все 36 делителей числа 2016:
2016 =
1 x 2016
2 x 1008
3 x 672
4 x 504
6 x 336
7 x 288
8 x 252
9 x 224
12 x 168
14 x 144
16 x 126
18 x 112
21 x 96
24 x 84
28 x 72
32 x 63
36 x 56
42 x 48

Оказывается, любое число, меньшее 2016, может быть представлено в виде суммы некоторых его делителей. Числа с таким свойством называются практичными. Предыдущим практичным номером года был 2010.

Немного подумав, приходим к выводу, что складывая делители практичного числа n можно получить любое число от 1 до 2n-1. А для числа 2016 можно пойти ещё дальше. К примеру:

4032 = 2016+1008+672+336
4033 = 2016+1008+672+336+1
4034 = 2016+1008+672+336+2
4035 = 2016+1008+672+336+3
....
Вопрос нашим читателям: как далеко мы сможем зайти?

Период дроби делится на 9

Возьмём любое простое число, большее пяти. Найдём его обратную величину. Это будет бесконечная периодическая десятичная дробь.

Например, 1/7 = 0,(142857), 1/13 = 0,(076923), 1/31 = 0,(032258064516129).

Так вот, оказывается, что период, если его записать как натуральное число, будет всегда делиться на 9! (восклицательный знак здесь обозначает не факториал, а выражение эмоции :) )

На 9 делятся и число 142857, и число 76923 и 32258064516129.

Интересный факт? Расскажите, пожалуйста, о нашем блоге у себя - пусть больше читателей смогут открывать для себя занимательные математические факты.

Простой признак делимости на 7

При изучении признаков делимости в 6 классе, признак делимости на 7 часто пропускают или объединяют вместе с признаками делимости на 11 и 13 в признак делимости на 1001.

В одной табличке признаков делимости мне даже попалась фраза: "простого признака делимости на 7 нет". А он есть! :)

Оказывается, чтобы проверить, делится ли число на 7, надо у него отбросить последнюю цифру и от оставшегося числа эту отброшенную цифру дважды вычесть. Если полученный результат делится на 7, то и число делится на 7.

Это действие можно проводить несколько раз, пока явно не увидим делимость или её отсутствие.

Возьмём число 39312
Отбрасываем последнюю двойку и дважды её отнимаем:
3931-2-2 = 3927
Отбрасываем последнюю семёрку и дважды её отнимаем:
392-7-7 = 378
Отбрасываем последнюю восьмёрку и дважды её отнимаем:
37-8-8 = 21

21 делится на 7, значит и 39312 делится на 7.

Кстати, этот метод можно ещё чуть-чуть усовершенствовать. Подумайте, как.

Ещё больше признаков делимости в статье на Эвольвенте: "Интересные признаки делимости, о которых обычно не рассказывают в 6 классе"

242

Число 242 начинает первую серию из четырёх последовательных чисел, у которых поровну (по 6) делителей.

Шесть делителей может быть или у пятой степени простого числа или у произведения квадрата простого числа на другое простое число. Числа 242, 243, 244, 245 имеют вид:

242=2х11²
243 = 3⁵
244 = 2²x61
245 = 5х7²

Тридцать три

С числа 33 начинается первая тройка натуральных чисел, каждое из которых имеет ровно 4 делителя.

33 делится на 1, 3, 11 и 33
34 делится на 1, 2, 17 и 34
35 делится на 1, 5, 7 и 35

Унитарный делитель

В математической части англоязычная википедия намного полнее русскоязычной. Сегодня я в ней нашёл интересный термин - unitary divisor, унитарный делитель.

Унитарным делителем числа n называется такой делитель d, для которого парный ему делитель ($\frac{d}{n}$), не имеет с d общих делителей.

Например, для числа 24 = 24х1 = 12х2 = 8х3 = 6х4 унитарными являются делители 1, 3, 8 и 24.

Количество унитарных делителей числа n равно $2^k$, где k - количество различных простых делителей числа n.

Если число n - степень двойки, то сумма его унитарных делителей нечётна. Во всех других случаях она будет чётной.

Остатки от деления

Задав число 2015 в Вольфрамальфе я увидел интересную особенность: при делении на числа от 2 до 9 (кроме 5) число 2015 даёт остатки, на единицу меньшие делителя.

2015:2 = 1007 (ост.1)
2015:3 = 671 (ост.2)
2015:4 = 503 (ост.3)
с пятёркой исключение - тут делится нацело
2015:6 = 335 (ост.5)
2015:7 = 287 (ост.6)
2015:8 = 251 (ост.7)
2015:9 = 223 (ост.8)

2015 - число Лукаса-Кармайкла

Обычно перед началом нового года я публикую интересные свойства его номера. Однако на этот раз в публикациях блога образовалась пауза, которую пора прекращать.

Простыми делителями числа 2015 являются числа 5, 13 и 31. А число 2016 = 2015+1 делится на 5+1, 13+1 и 31+1.

Числа, обладающие таким свойством, называются числами Лукаса-Кармайкла. Числа Лукаса-Кармайкла должны быть свободными от квадратов, т.е. не должны делиться на квадрат простого числа. В противном случае числом Лукаса-Кармайкла считался бы куб любого простого числа. Если $n=p^3$, то $n+1  = p^3+1 = (p+1)(p^2+p+1)|(p+1)$

Математические часы: 4 - функция Эйлера

Для числа 4, как и для числа 2 на математических часах также используется формула, связанная с Эйлером.

$4 = \phi(10)$

4 - Функция Эйлера
Фунция Эйлера, обозначающаяся греческой буквой фи, для некоторого натурального числа n равна количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n (т.е. не имеющих с n других общих делителей, кроме единицы). При этом принимается, что $\phi(1) = 1$.

Для числа 10 есть 4 числа, меньших его, которые не имеют с числом 10 других общих делителей, кроме единицы. Это 1, 3, 7 и 9. Поэтому $\phi(10) = 4$

Интересным свойством функции $\phi(n)$ является её мультипликативность. $\phi(mn) = \phi(m)\phi(n)$

Для простых чисел $\phi(p) = p-1$, для составных $\phi(n) < n-1$. Оказывается, для любого числа r в интервале [0;1] можно подобрать такое n, чтобы приблизить это r с любо точностью дробью $\frac{\phi(n)}{n}$

Сдвоенные близнецы

Про простые близнецы знают, пожалуй, многие. Существует также единственная тройка простых чисел вида p, p+2, p+4 - это тройка 3, 5, 7. Действительно, ведь одно из трёх последовательных нечётных чисел будет делиться на 3, и во всех других случаях эти три числа не будут простыми.

Однако бывает так, что пары простых близнецов следуют рядом, с промежутком в одно нечётное число. Например, (11, 13), (17, 19). Или (1002341, 1002343), (1002347, 1002349). Таких сдвоенных близнецов (или квадруплетов), возможно, тоже бесконечно много.

Разность и сумма дробей

Разложение числа 2014 на простые множители поможет ответить и на вопрос, сколькими способами аликвотную дробь $\frac{1}{2014}$ можно представить в виде суммы или разности двух аликвотных дробей.

Составим диофантово уравнение:
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{2014}$

$\frac{y-x}{xy}=\frac{1}{2014}$

2014y - 2014x = xy

(2014-x)y = 2014x

$y = \frac{2014 x}{2014-x}$

Так как слева - натуральное число, то и справа число должно быть натуральным. Во-первых, такое возможно, если разность 2014 - х окажется равным одному из делителей числа 2014: 1, 2, 19, 38, 53, 106 или 1007. Это даёт пары решений (х,у):
(2013,4054182);
(2012,2026084);
(1995,211470);
(1976,104728);
(1961,74518);
(1908,36252);
(1007,2014).

Однако, все ли это решения? Нет, ведь, например, при x = 2010 знаменатель дроби $y = \frac{2014 x}{2014-x}$ тоже сократится полностью. Так как же найти, сколькими способами можно представить дробь $\frac{1}{2014}$ в виде разности двух аликвотных дробей, не прибегая к полному перебору?

Для этого введём замену d = 2014 - x. Тогда выражение для y обретёт вид:

$y = \frac{2014 (2014-d)}{d}=\frac{2014^2-2014d}{d}=\frac{2014^2}{d}-2014$

Таким образом, число d должно быть делителем числа $2014^2$ и быть меньше числа 2014. Всего для него 13 вариантов:
1, 2, 4, 19, 38, 53, 76, 106, 212, 361, 722, 1007, 1444

Что даёт следующие равенства:
$\frac{1}{2014}=\frac{1}{2013}-\frac{1}{4054182}=\frac{1}{2012}-\frac{1}{2026084}= \frac{1}{2010}-\frac{1}{1012035}=\\
=\frac{1}{1995}-\frac{1}{211470}=\frac{1}{1976}-\frac{1}{104728}=\frac{1}{1961}-\frac{1}{74518}=\\
=\frac{1}{1938}-\frac{1}{51357}=\frac{1}{1908}-\frac{1}{36252}=\frac{1}{1802}-\frac{1}{17119}=\\
=\frac{1}{1653}-\frac{1}{9222}=\frac{1}{1292}-\frac{1}{3604}=\frac{1}{1007}-\frac{1}{2014}=\frac{1}{570}-\frac{1}{795}$

А найти, сколькими способами число $\frac{1}{2014}$ представляется в виде суммы аликвотных дробей предлагаем вам самостоятельно. Будет хорошая тренировка перед математическими олимпиадами этого года.

Простые числа и разность квадратов

Пора бы уже, по традиции, собирать интересные факты о номере наступающего года: 2014.
Начнём с того, что это число раскладывается на простые множители так:

$2014=2\times 19\times 53$

Обычно сразу после этого факта я пишу, сколькими способами его можно представить в виде разности квадратов, но сейчас хочу пояснить подробнее, какая связь между этими способами и простыми множителями числа.

Итак, пусть для некоторых натуральных х и у:
$x^2-y^2=2014$

Левая часть раскладывается на множители по формуле разности квадратов:
(x-y)(x+y) = 2014

Заметим, что выражения х-у и х+у, как сумма и разность двух натуральных чисел, имеют одинаковую чётность. Поэтому, чтобы найти все возможные решения, попробуем число 2014 представить в виде произведения двух натуральных чисел одинаковой чётности.

А вот это как раз невозможно. Ведь среди простых делителей числа 2014 только одна двойка, и, как бы мы ни группировали их в два множителя, один будет чётным, другой - нечётным.

Математический Марафон

Обычно, если в публикациях блога наступает перерыв, это значит, что я работаю над новой игрой :) Сейчас это правда лишь отчасти, т.к. реализацию своей идеи одновременных ходов в шахматах я уже отправил на закрытое бета-тестирование. А в данный момент занят я решением интересных задач из Математического Марафона.



Владимир Лецко проводит уже 17-й тур этого соревнования. Прочитать условия задач можно, например, на научном форуме dxdy.ru.



В задаче с ближайшим сроком сдачи ответов (5 мая) рассматриваются числа, представимые в виде суммы ровно 4 своих (попарно различных) делителей. Как, скажем, число 12 = 6 + 3 + 2 + 1. Требуется найти стомиллиардное число с таким свойством.


Решения этой и других задач присылайте ведущему по адресу val-etc [at] yandex.ru

Число с делителями

Сумма числа 2013 и его простых делителей
2013 + 3 + 11 + 61 = 2088

равна сумме числа 2014 со своими простыми делителями:
2014 + 2 + 19 + 53 = 2088