суббота, 27 октября 2012 г.

Факториал дробных чисел


Вычислим факториалы нескольких натуральных чисел и отметим точки (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24) и т.д.на прямоугольной системе координат.


Что если попробовать плавной линией соединить эти точки и найти функцию, график которой имел бы такой вид? Тогда можно было бы вычислять факториал от любых чисел, не только от натуральных.
Об этом математики задумались в начале XVIII века. Если такая функция f(x) существует, она должна удовлетворять условию f(x) = x f(x-1), т.е. рекурсивному определению факториала. В 1729 году Леонард Эйлер нашёл способ получить факториал в виде бесконечного произведения, в которое в качестве аргумента можно было подставлять и дробные числа.

гамма-функция, факториал дробного числа

Вот как будет работать эта формула для n = 4, например:

гамма-функция, факториал дробного числа

Сходится произведение довольно медленно, я проверил в Экселе. Для того, чтобы произведение превысило 23, нужно взять 139 множителей, а чтобы добраться до 23,5, множителей нужно уже 283. На 1435-м шагу произведение доходит до 23,4, ну а в бесконечности будет равно 24

Я выложил лист для вычисления факториала в гугл доки. Меняете n и смотрите, к чему будут стремиться частичные произведения.

Чуть позже Эйлер выразил факториал в виде несобственного интеграла:
гамма-функция, факториал дробного числа

Применим к нему метод интегрирования частями, взяв u = (-ln x)n, dv = dx:

гамма-функция, факториал дробного числа

Требуемое свойство выполняется.

Заменой t = −ln x этот интеграл принимает используемый в настоящее время вид и известен как гамма-функция.

гамма-функция, факториал дробного числа

Аргументами её могут быть не только дробные или даже отрицательные числа, но и комплексные.


гамма-функция, факториал дробного числа



гамма-функция, факториал дробного числа

Для натуральных аргументов Г(n) = (n-1)!

Шотландский математик Джеймс Стирлинг был современником Эйлера и вывел формулу, позволяющую приближённо вычислять факториал для больших чисел.

А вот как я использовал факториал на математических часах.

5 комментариев:

  1. Блестяще! Эйлер и тут постарался. Математик-универсал.

    ОтветитьУдалить
  2. Только, кажется, я опечатку нашёл в формуле с произведением. Там оно идёт по k, а не по n.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Спасибо большое, поправил.

      Да, математики Нового времени были гигантами, универсалами, можно сказать :) Последним универсалом был Пал Эрдеш, уже почти наш своременник, у которого были работы во множестве областей. А сейчас математика всё больше расслаивается с пециалисту по теории графов будет сложно вникнуть, скажем, в то, что происходит на переднем краю дифуров.

      Удалить
    2. О, да, нынче не такие. Каюсь, сам весьма многого не знаю.

      Сейчас вот остро потребовалось изучить исследование операций, в котором я никак не ориентируюсь, так много нового открою для себя :)

      Удалить
    3. Классическая книга по этой теме за аторством Вентцель Елены Сергеевны.

      Удалить

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл магический квадрат палиндром уравнение видео комплексные правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр