Функция Дирихле

Функция Дирихле D(x) определена для всех действительных чисел и рана единице, если x - рациональное число и нулю, если x - иррациональное.

Если бы мы попытались изобразить график этой функции, то на нём между любыми двумя точками с ординатой 1 имелась бы точка с ординатой 0, и между любыми точками с ординатой 0 имелась бы точка с ординатой 1. Этот график был бы разрывен в каждой точке.

Функцию Дирихле часто приводят как пример недифференцируемой функции.

Прикинуть величину угла

Когда я был курсантом, кафедрой воздушной навигации у нас заведовал Валерий Иванович Марков. При решении навигационных задач часто используются формулы, позволяющие быстро получить в уме приближённый результат.

Например, для перевода метров в секунду в километры в час вместо умножения на 3,6, умножают на 4, а затем вычитают десятую часть результата (так вообще получаем точное значение). Или коэффициент для перевода радиан в градусы берут равным 60, а не

 Так вот, Валерий Иванович вывел формулу, позволяющую прикинуть градусную меру угла в прямоугольном треугольнике.

В прямоугольном треугольнике с катетами a и b, угол, противолежащий катету а будет примерно равен (в градусах):



Поскольку , то оценить точность этой формулы можно, исследовав функцию:

 

Вот её график:

Обратите внимание, что Вольфрам-Альфа сделал разные масштабы по осям, иначе график на промежутке от 0 до пи/2 мало отличался бы от отрезка.

Таким образом, для углов в 0, 45 и 90 градусов формула даёт точное значение, а наибольшее отклонение её будет 4 градуса в сторону увеличения или уменьшения для реального значения угла в 17 или 73 градусов, соответственно.

Формула подсолнуха

В 1978 году Гельмут Фогель предложил формулу, дающую расположение зёрен в подсолнухе. В ней от параметра n зависят полярные координаты зёрен: радиус-вектор и угол.

Вот какой результат даёт эта формула, когда n пробегает все натуральные значения от 1 до 500:

Изображаем функции

На dxdy.ru увидел забавную картинку:

Почему же гиперболические?

Почему же функции sh, ch, th называются гиперболическими синусом, косинусом и тангенсом?
Вспомним, как определяются значения тригонометрических функций для произвольного t.

Если на единичной окружности, задаваемой уравнением x²+y²=1, отложить от оси ОХ против часовой стрелки угол t, то синусом его будет проекция соответствующей точки окружности на ось у, а косинусом - на ось х.

Заметим также, что угол t численно равен площади S вырезаемого им сектора окружности (примем, что при каждом переходе через полный круг, площадь всё увеличивается).

Гиперболические функции определяются аналогичным образом через гиперболу x²-y²=1 (как я рассказывал, гипербола - это не только график обратной пропорциональности)

Гиперболические синус и косинус будут проекциями точки пересечения луча, пущенного из начала координат с этой гиперболой на оси у и х, соответственно. Параметром t  соответствующих функций берётся удвоенная площады S, заключённая между лучом, гиперболой и осью ОХ (если луч откладывается в нижнюю полуплоскость, берётся знак минус).

Гиперболический тангенс

По аналогии c тригонометрическим, гиперболический тангенс - частное гиперболических синуса и косинуса.

График его имеет две горизонтальные асимптоты: y=1 в положительном направлении и  y=-1 - в отрицательном.

Благодаря тому, что вблизи нуля функция изменяется быстро, а вдали от него - всё медленнее, гиперболический тангенс, наряду с другими функциями с таким свойством, используется при моделировании нейронных сетей.

Лемниската

Лемниската - это геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до фокусов - величина постоянная.

В зависимости от значения этого произведения, лемниската с двумя фокусами может представлять собой овал, восьмёрку или два яйцевидных овала.

"Восьмёрка" возникает, когда расстояние между фокусами вдвое требуемого произведения расстояний до них, с. Она описывается уравнением:



Фокусов может быть сколько угодно. Вот пример семейства лемнискат с восемью фокусами:

Эвольвента

Поставим на стол вертикально катушку ниток, и к концу нитки прикрепим грифель карандаша. Если теперь разматывать катушку в горизонтальной плоскости, держа нить всё время натянутой, карандаш нарисует эвольвенту окружности.


(Картинка с Wikipedia.org)


Хотя получившаяся кривая похожа на спираль Архимеда, это не она. Эвольвента окружности описывается уравнениями:

x=R(cosT+TsinT)
y=R(sinT-TcosT)

Гипербола

Наиболее частый пример гиперболы - график функции .

Однако такая же гипербола, только повёрнутая на 45^o будет графиком функции

Циклоида

Циклоида - это траектория точки обода катящегося колеса.


(картинка с wikipedia.org)

Она задаётся параметрически по формулам:

x = t − sint
y = 1 − cost

Неделя графиков продолжается!

В общем виде такой график получается по формулам
x=cos(AT)
y=sin(BT)

В данном случае A=3, B=5.
Обратите внимание, что при взаимно простых А и В кривая имеет А точек касания с вертикальной и В - с горизонтальной касательными.

Спираль Архимеда

Спираль Архимеда можно представить как траекторию жука, бегущего вдоль минутной стрелки часов.

Она строится в полярных координатах по формуле
 

Или параметрически как
x=TcosT
y=TsinT

Цветик-семицветик

Вот такой цветочек является графиком параметрически заданной функции

x:=R₁(1+cos(7T))cos(O₁T)+R₂cos(O₂T);
y:=R₁(1+cos(7T))sin(O₁T)+R₂sin(O₂T);

R₁=100,
R₂=25,
O₁=1,
O₂=500,

Цепная линия

Свободно провисающая цепочка похожа на параболу, но на самом деле это - график гиперболического косинуса
 

Астроида

График астроиды задаётся параметрически как:

В результате получаем вот такую фигуру: