Первые цифры степеней

Закономерность в последних цифрах степеней находится легко. А что можно сказать о первых цифрах степени двойки? Есть ли в последовательности 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, …закономерность?

Сначала кажется, что группа из 10 цифр 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5 здесь опять-таки будет повторяться периодически. Но быть полностью уверенными в этом мы не можем, т.к. первая цифра степени может зависеть не только от первой, а от всех цифр предыдущей степени.


Действительно, закономерность нарушится на 46-м элементе, поскольку  2⁴⁶ = 70 368 744 177 664 - первая степень двойки, начинающаяся с семёрки. И никакого периода в последовательности первых цифр степеней двойки нет.

Однако, анализируя начальные члены последовательности, можно обратить внимание на другое свойство: среди них очень часто встречаются единицы, почти в трети случаев. И, оказывается, так будет продолжаться всегда.

При удвоении числа, начинающегося с единицы, может получиться число, начинающееся с двойки или с тройки. Если первая цифра удваиваемого числа 2, у результата первой цифрой может быть 4 или 5. Цифра 3 в начале даст цифры 6 или 7, цифра 4 - цифры 8 или 9. А первые цифры 5, 6, 7, 8 и 9 дадут единицу у следующей степени двойки.

Эту взаимосвязь можно наглядно представить с помощью графа.

Если взять некоторую достатоно длинную последовталеьность степеней двойки и обозначить в ней через p_k вероятность того, что наугад выбранное число начнётся с цифры k, получим соотношения:

p₁ + p₂ + p₃ + p₄ + p₅ + p₆ + p₇ + p₈ + p₉=1
p₁ = p₂ + p₃
p₂ = p₄ + p₅
p₃ = p₆ + p₇
p₄ = p₈ + p₉
p₁ = p₅ + p₆ + p₇ + p₈ + p₉

Таким образом, 3p₁ = 1 - p₄

Так как (по довольно грубой оценке) 0 < p₄ < p₁, то 0,25 < p₁ < 0,(3).

И, действительно, единица будет всегда встречаться чаще любой другой цифры на первом месте степени двойки. Однако это лишь часть намного более обширного закона, о котором будет рассказано в следующей статье.