четверг, 21 февраля 2013 г.

Первые цифры степеней


Закономерность в последних цифрах степеней находится легко. А что можно сказать о первых цифрах степени двойки? Есть ли в последовательности 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, …закономерность?

Сначала кажется, что группа из 10 цифр 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5 здесь опять-таки будет повторяться периодически. Но быть полностью уверенными в этом мы не можем, т.к. первая цифра степени может зависеть не только от первой, а от всех цифр предыдущей степени.


Действительно, закономерность нарушится на 46-м элементе, поскольку  246 = 70 368 744 177 664 - первая степень двойки, начинающаяся с семёрки. И никакого периода в последовательности первых цифр степеней двойки нет.

Однако, анализируя начальные члены последовательности, можно обратить внимание на другое свойство: среди них очень часто встречаются единицы, почти в трети случаев. И, оказывается, так будет продолжаться всегда.

При удвоении числа, начинающегося с единицы, может получиться число, начинающееся с двойки или с тройки. Если первая цифра удваиваемого числа 2, у результата первой цифрой может быть 4 или 5. Цифра 3 в начале даст цифры 6 или 7, цифра 4 - цифры 8 или 9. А первые цифры 5, 6, 7, 8 и 9 дадут единицу у следующей степени двойки.
первые цифры степеней двойки
Эту взаимосвязь можно наглядно представить с помощью графа.

Если взять некоторую достатоно длинную последовталеьность степеней двойки и обозначить в ней через pk вероятность того, что наугад выбранное число начнётся с цифры k, получим соотношения:

p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 + p7 + p8 + p9=1
p1 = p2 + p3
p2 = p4 + p5
p3 = p6 + p7
p4 = p8 + p9
p1 = p5 + p6 + p7 + p8 + p9

Таким образом, 3p1 = 1 - p4

Так как (по довольно грубой оценке) 0 < p4 < p1, то 0,25 < p1 < 0,(3).

И, действительно, единица будет всегда встречаться чаще любой другой цифры на первом месте степени двойки. Однако это лишь часть намного более обширного закона, о котором будет рассказано в следующей статье.

4 комментария:

  1. Анонимный22/2/13 11:35

    Without the internet, this is not possible to play these novoline games online and even they can't live online that they perform now with public for additional characteristics and completely attractive in a delusion earth to participate in a game. Thus the games like the Mahjongg Spiele as well as the Naegel machen games are more in demand and this is the greatest benefit or advantage of the online games. You'll have to keep the phone close (on
    the bed or in an armband) for the app to work.

    Review my web blog - internet radio

    ОтветитьУдалить
  2. Николай, да-да, именно он

    ОтветитьУдалить
  3. Анонимный22/2/13 23:51

    I constantlу еmailed thіs webpаge post page tο
    all my fгiеnds, because if like tο read it next my contacts will too.



    my homeрage Read A lot more

    ОтветитьУдалить

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл магический квадрат палиндром уравнение видео комплексные правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр