воскресенье, 21 июня 2015 г.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно складывать, вычитать, умножать на число. А перемножать векторы между собой можно даже двумя способами: скалярно и векторно.

Результатом скалярного произведения является число, а порядок множителей неважен. Результатом же векторного произведения является вектор, напрваление которого зависит от того, в каком порядке перемножались сомножители.

Скалярное произведение обозначается точкой, а векторное - крестиком.

Скалярное произведение вычисляется просто: нужно попарно перемножить соответстсвующие координаты векторов, а результаты сложить.

Таким образом, на математических часах запись $\overline{(2,5)}\cdot\overline{(3,1)}$ обозначает $2\cdot 3+5\cdot 1=11$

Геометрически скалярное произвдение вектора равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.

суббота, 20 июня 2015 г.

Вычисление количества сочетаний

Число 10 на математических часах представляется как
$10=C_5^2$

Эта запись означает количество сочетаний из 5 элементов по 2. Иными словами, сколькими способами можно выбрать из пяти различных предметов неупорядоченную пару

Искомое число можно подсчитать непосредственно. Из (1,2,3,4,5) можно выбрать такие пары (не забываем, что порядок в них неважен):

(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5)
Всего их 10.

Как же вычислять $C_n^m$ не прибегая к непосредственному перечислению? Первый предмет можно выбрать n способами. Второй предмет можно выбрать (n-1) способами. Для третьего будет (n-2) способов, и т.д. до (n-m+1) способов выбрать m-й предмет.

Значит, количество способов выбрать m предметов из n при условии, что порядок важен, равно произведению $n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\dots\cdot(n-m+1)$.

Сами же эти m предметов можно переставить между собой m! способами. Значит, каждая непорядоченная группа из m предметов при нашем подсчёте оказалась подсчитанной m! раз.

Поэтому $C_n^m$ оказывается равно дроби: $\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\dots\cdot(n-m+1)}{m!}$

Эту формулу можно упростить, заметив, что $n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\dots\cdot(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

Таким образом, $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

пятница, 19 июня 2015 г.

Вычисление предела

Как-то резко я прекратил публиковать объяснение формул со своих математических часов. Продолжаем!

Число 9 выражается как предел $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(3x+1)(3x+2)}{(x+3)(x-2)}$

Предел этот представляет собой неопределённость вида бесконечность на бесконечность. При этом в числителе и знаменателе предела - многочлены.

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{9x^2+9x+2}{x^2+x-6}$

Так как эти многочлены одинаковых степеней, предел будет равен отношению их старших коэффициентов. Для доказательства этого факта разделим числитель и знаменатель на $x^2$:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{9x^2+9x+2}{x^2}}{\frac{x^2+x-6}{x^2}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{9x^2}{x^2}+\frac{9x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}-\frac{6}{x^2}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{9+\frac{9}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}}$

Поскольку х стремится к бесконечности, то все слагаемые числителя и знаменателя, кроме первых, стремятся к нулю и можно вычислить предел.

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{9+\frac{9}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}} = \frac{9+0+0}{1+0+0}=9$

Вот, кстати, как выглядит график этой функции:

Прямая у=9 является егго горизонтальной асимптотой.

четверг, 11 июня 2015 г.

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор дроби язык степень делимость пи методы история квадрат самоописывающее время задача система счисления узор корень тригонометрия структура е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал комбинаторика последовательность график память логарифм вероятность палиндром пределы конкурс треугольник магический квадрат неизвестное правильно-неправильное действие видео интеграл уравнение комплексные софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы матрица проценты разрезания логика парабола символ статистика 2014 Фибоначчи клеточный автомат кривая производная фокус головоломка действия иллюзия куб шахматы многоугольник новости оказывается оригами подобие построение сложение термин тетраэдр топология