Последние цифры степеней

Рассмотрим  последовательность степеней двойки:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...

И выпишем только последние цифры:
2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4,...

Будет ли эта закономерность сохраняться до бесконечности?


Да, сохранится, так как каждый член последовательности степеней полностью определяется предыдущим. Более того, для получения последних цифр степеней не обязательно сами степени вычислять полностью - достаточно после каждого умножения сотавлять только последнюю цифру:

3х3 = 9, 9х3 = 27, 7х3 = 21, 1х3 = 3

Снова период длины четыре: 3, 9, 7, 1

Для четвёрки зацикливание наступит уже на третьем шаге:
4х4 = 16, 6х4 = 4

Так как 5х5 = 25, а 6х6 = 36, то, как и для нуля и единицы, последняя цифра чисел, оканчивающихся на 5 или 6, при возведении в степень меняться не будет.

Для цифр 7, 8 и 9 получаем периоды:
7: 7, 9, 3, 1
8: 8, 4, 2, 6,
9: 9, 1

Всё это можно свести в таблицу:
Последние цифры степеней

1	2	3	4	5
0	0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	4	8	6	2
3	9	7	1	3
4	6	4	6	4
5	5	5	5	5
6	6	6	6	6
7	9	3	1	7
8	4	2	6	8
9	1	9	1	9

Что интересного можно из неё почерпнуть?
Во-первых, то, что при возведении в пятую степень последняя цифра не меняется, это я писал ещё пару лет назад, когда вёл блог в жанре коротких заметок.

А во-вторых, квадрат числа не может оканчиваться на 2, 3, 7 или 8. Этот факт можно использовать при решении задач на олимпиадах по математике.

Для четвёртой степени список допустимых последних цифр ещё меньше: она может оканчиваться только на 0, 1, 5 или 6.


Ещё одна задача, связанная с этой таблицей - какие двух- или трёхциферные окончания числа не будут меняться при возведении в степень? Но и она уже была разобрана чуть более года назад.