вторник, 31 января 2017 г.

Очень хорошее приближение числа е

Контантин Кноп в группе Математические задачи и головоломки на FB обратил внимание, что по западным математическим пабликам начала гулять вот такая картинка:

Выражение в скобках, состоящее из десяти цифр, даёт $1,8\cdot10^{25}$ верных знаков для числа е.

Рассмотрим, в чём тут хитрость.

Как известно, число е возникает как второй замечательный предел. Выражение$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ при n стремящемся к бесконечности, стремися к e.

Выражение в скобках равно сумме единицы и числа $9^{-4^{6\cdot7}} = 9^{-4^{42}}= 9^{-2^{84}}=3^{2\cdot-2^{84}}=3^{-2^{85}}=\frac{1}{3^{2^{85}}}$

А показатель степени за скобками равен как раз $3^{2^{85}}$

То есть это выражение равно $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ для очень большого n.

Практического смысла в таком приближении мало, ведь, чтобы получить $1,8\cdot10^{25}$ верных знаков для числа е, приходится возводить в степень, которая тоже является числом из $1,8\cdot10^{25}$ цифр.

Но формула красивая, да.

воскресенье, 29 января 2017 г.

Найди центр волны - игра для Android


На недавнем Global Game Jam Ukraine родилась идея одной математической головоломки, которая быстро превратилась в полноценную игру.


Представьте бассейн с водой. Если бросить в него камешек, вокруг места падения начнут расходиться волны. Сначала они будут круглыми, но после отражения от бортов форма их станет более интересной. А теперь рассмотрим обратную задачу: куда надо кинуть камень, чтобы через определённое время волны образовали нужную структуру?

Вот как выглядит геймплей (гифка)

В игре следующие фичи:
  • разные формы волн (треугольные, квадратные и т.д.)
  • звуки океанских волн
  • сетка на фоне для облегчения прицеливания
  • система подсчёта очков
  • сохранение истории и отражение её на графике
Игру можно скачать с Google Play Market

Использованные инструменты и ресурсы:
  • Action Script 3 — язык программирования
  • Flash Develop — IDE
  • Starling — движок для вывода графики
  • Enhance — быстрое встраивание рекламы и аналитики (весь процесс занял 3 минуты)
  • Физический движок самописный :)



вторник, 24 января 2017 г.

Полное имя первооткрывателя фракталов

Многие знают, что полное имя первооткрывателя фракталов, Бенуа Мандельброта - Бенуа Б. Мандельброт. Но немногие знают, что означает инициал Б. в его имени.

А означает он - Бенуа Б. Мандельброт :)


суббота, 21 января 2017 г.

Global Game Jam Ukraine

Взяв со старта темп по 1 посту в день, я его честно выдерживал 18 дней. Превал эту серию Global Game Jam Ukraine :) Ещё 19го числа я вспомнил, что блог остался без ежедневного поста уже заполночь, т.е. по факту, 20го. А 20го было открытие и начало работы.

Тема этого джема очень математическая - волны! (Так так тема формулируется на английском языке, то слово waves можно понимать и как "машет").

Я сразу вспомнил свой клеточный автомат 7-летней давности:


Может быть, тоже успею что-то сделать на его основе.

А вот тут можно посмотреть в прямом эфире, как идёт джем:
Watch live video from ggjua on www.twitch.tv
Самое интересное, презентации проектов, начнутся в воскресенье с середины дня.

среда, 18 января 2017 г.

Что писать в блоге, когда некогда искать интересный математический факт

Число 2017 появляется в десятичной записи числа пи на 8897-й позиции после запятой.

Всего эта группа цифр среди первых 200 миллионов знаков встречается 19921 раз. То есть её можно встретить с вероятностью примерно 0,0099%, что подтверждает гипотезу о нормальности числа пи.

Каждый желающий может поискать в числе пи свой номер телефона или пин-код на этом сайте: http://www.angio.net/pi/piquery

вторник, 17 января 2017 г.

Удвоение куба с помощью оригами

С 17-м постом наш блог превышает результат 2014 года. Тогда в блоге был большой перерыв, так как я защищал диссертацию. А после защиты сделал вот такие математические часы и начал серию публикаций об изображённых на них формулах. Правда, дошёл только до числа 8, представленного как куб двойки. И пообещал написать что-то интересное про кубы.

Что именно я обещал написать о кубах, я не помню :) Но покажу сейчас нечто действительно интересное. А именно, как решить задачу удвоения куба, одну из трёх классических нерешаемых задач на построение. Нам не понадобятся никакие инструменты, достаточно квадратного кусочка бумаги.

Итак, задача удвоения куба сводится к нахождению двух отрезков, которые находятся в отношении $1 : \sqrt[3]2$

Берём квадратный лист бумаги.

понедельник, 16 января 2017 г.

Четырежды двадцать

Именно так французы называют число 80. По-французски это будет quatre-vingt.
Quatre - это 4, а vingt - это 20.

Вероятно, это наследие от счёта двадцатками, который использовали кельты.

воскресенье, 15 января 2017 г.

Суперсовершенные числа

Про совершенные числа знают многие любители занимательной математики. А число, для которого сумма делителей его суммы делителей вдвое больше самого числа, называется суперсовершенным.

Например, число 16 делится на 1, 2, 4, 8, 16. Сумма его делителей равна 1+2+4+8+16 = 31

Число 31 делится на 1 и на 31. Сумма его делителей равна 1+31 = 32, что вдвое больше 16-ти.

Пока что все известные суперсовершенные числа чётные (между прочим, хорошим упражнением для ума было бы определить, какими дополнительными свойствами они должны обладать). Нечётные суперсовершенные числа, если они существуют, должны быть полными квадратами.

суббота, 14 января 2017 г.

Уникальное свойство чисел 14 и 21

Число 14 является произведением двух различных простых. Если его увеличить на 1, результат также будет произведением двух различных простых.

14 = 2х7; 15 = 3х5

Аналогичным свойством обладает число 21. И оно само, и увеличенное на 1 будут произведением двух различных простых чисел:

21 = 3х7; 22 = 2х11

Больше таких чисел нет.

пятница, 13 января 2017 г.

Количество разбиений

Берём число 28. Его можно представить в виде суммы нескольких слагаемых довольно большим количеством способов. Например:
28 = 14+14 = 20+5+3 = 10+9+5+1+1+1+1+1=...

А вот интересно, сколько среди этих разбиений будет таких, в которых сумма наибольшего и наименьшего слагаемого будет больше количества слагаемых? Разбиение из единственного числа тоже считается. Порядок слагаемых не играет роли.

Например, для числа 5 таких разбиений будет 4:
5, 4+1, 3+2, 3+1+1

четверг, 12 января 2017 г.

Числа Вудала

Это числа вида $n\cdot 2^n - 1$. Они формируют последовательность 1, 7, 23, 63, 159, 383, ...

Предположительно, среди них бесконечно много простых чисел. Наибольшее из простых чисел Вудала, известных на данный момент - это $3752948\cdot 2^{3752948}-1$

среда, 11 января 2017 г.

Центрированное треугольное число

О треугольных, квадратных и прочих фигурных числах знают многие любители занимательной математики.

Но треугольники из монет, оказывается, можно формировать двумя способами. Первый, классический, был предаствлен ещё Пифагором, он описан в посте о треугольных и тетраэдрических числах. А вот второй.

Берём монету. Раскладываем вокруг неё три монеты. Вокруг образовавшегося треугольника раскладываем 6 монет. В следующем слое будет уже 9 монет, и так далее.



Таким образом формируется последовательность: 1, 4, 10, 19, 31...

По способу построения можно увидеть, что центрированное треугольное число равно утроенному обычному треугольному числу меньшего порядка, увеличенному на единицу.



Интересно, что число 10 является одновременно и треугольным, и центрированным треугольным, и тетраэдрическим числом. Найдутся ли ещё числа с таким свойством? Или, хотя бы, принадлежащие двум из этих трёх групп?




вторник, 10 января 2017 г.

Треугольник и тетраэдр

Треугольные числа - это числа, равные суммам последовательных натуральных чисел:
1, 3 = 1+2, 6 = 1+2+3, 10 = 1+2+3+4, 15 = 1+2+3+4+5 и т.д.

Треугольными их стал называть ещё Пифагор. Действительно, если сначала положить на стол 1 монету, затем к ней приложить 2 монеты, получится треугольник. Затем его можно увеличивать, прикладывая ряды в 3, 4, 5 и т.д. монет.

Тетраэдрические числа образуются, если выйти в пространство. Берём один шар. Кладём его на треугольник, образованный тремя шарами. Полученный тетраэдр наращиваем ещё одним слоем из шести шаров, затем - из 10-ти и т.д.

Количества шаров в получающихся тетраэдрах будет равно:
1, 4 = 1+3, 10 = 1+3+6, 20 = 1+3+6+10, 35 = 1+3+6+10+15 и т.д.

Таки образом, тетраэдрические числа - это суммы последовательных треугольных чисел, начиная с единицы.

Число 10 является наименьшим (помимо, очевидно, единицы) числом, которое является одновременно и треугольным, и тетраэдрическим.


понедельник, 9 января 2017 г.

воскресенье, 8 января 2017 г.

суббота, 7 января 2017 г.

Покрытие плоскости семиугольниками

Оказывается, не существует выпуклого семиугольника, которым можно было бы замостить плоскость.

А вот с помощью невыпуклых семиугольников эта задача решается, например, так:
покрытие плоскости невыпуклыми семиугольниками

пятница, 6 января 2017 г.

Не 142857 единым...

Многие любители занимательной математики знают о чудестном свойстве числа 142857. Циклическая перестановка цифр в нём позволяет получить его же, умноженное на 2, 3, 4, 5 и 6.

Поэтому при решении задачи о поиске шестизначного числа, которое увеличивается в целое число раз после перестановки последней цифры в начало, число 142857 первым приходит в голову как вероятный ответ. Однако, оказывается, таким свойством обладают много больше чисел.

Вот все они:
102564 х 4 = 410256
128205 х 4 = 512820
142857 х 5 = 714285
153846 х 4 = 615384
179487 х 4 = 717948
205128 х 4 = 820512
230769 х 4 = 923076

четверг, 5 января 2017 г.

Период дроби 1/2017

Десятичная запись дроби 1/2017 имеет период длины 2016, т.е. 2017-1. Вообще, длина периода, равная n-1 - это наибольшее теоретически возможное значение для дроби 1/n.

Кто-то может сказать, что дробь 1/2017 даёт период длины 2016 из-за того, что оно простое. Однако, не для всех простых достигается максимальная возможная длина периода. Например, 1/3 = 0,(3) имеет период длины 1, а не 2.

среда, 4 января 2017 г.

2017 пи

Мало того, что число 2017 простое. Если его умножить на пи и округлить, то результат (6337) тоже будет простым. А если 2017 умножить на е и округлить, мы снова получим простое число, 5483.

вторник, 3 января 2017 г.

2017 и сумма квадратов

На Geektimes.ru собрали интересную подборку свойств номера нового года. В частности, там говорится, что 2017 можно записать как x²+y², x²+2y², x²+3y², x²+4y² x²+6y², x²+7y², x²+8y² и x²+9y² (для положительных целых x и y)

Есть ли желающие найти эти х и у для всех вариантов?

понедельник, 2 января 2017 г.

2016 из 2017 кратными факториалами

Каждый год на научном форуме dxdy.ru проводят игру. Требуется получать последовательные натуральные числа из цифр наступающего года, не меняя их порядка. Нужно получить все числа от 1 до номера уходящего года.

Число 2016 из цифр 2, 0, 1, 7 получил A.Edem следующим образом:
(((2+0!)!)!!!!)!!!!! х (-1+7)!!!!

Здесь используются кратные факториалы.
Запись n!...!! (где m восклицательных знаков) обозначает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n, которые дают при делении на m тот же остаток, что и число n.

Разберём данную формулу по шагам:
0! = 1 (по определению)
3! = 1х2х3 = 6
6!!!! = 6х2 = 12
12!!!!! = 12х7х2 = 168

168х12 = 2016

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл магический квадрат палиндром уравнение видео комплексные правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр