воскресенье, 30 декабря 2012 г.

3, 11, 61

Начнём последовательность с 1, 2, 3, а затем будем приписывать суммы попарных произведений последних трёх чисел в ней.

Сначала добавится число 11 = 1х2 + 2х3 + 1х3

Затем к последовательности 1, 2, 3, 11, добавится число 61 = 2х3 + 3х11 + 2х11

Получим: 1, 2, 3, 11, 61,...

Забавно, что числа 3, 11, 61 - являются простыми множителями числа 2013.

Далее она будет продолжаться как:
1, 2, 3, 11, 61, 887, 64535, ...

P.S. Надо же, я дватрижды без опечаток с первого раза написал слово последовательность :)


 

суббота, 29 декабря 2012 г.

General-2013

На нескольких математических форумах я загистрирован как General. И Семёныч с Назвы сделал мне к Новому году чудесный подарок.

Он обнаружил, что если в выражении Я * (Г + Е + Н + Е + Р - А + Л) заменить каждую букву её номером в алфавите, получится 2013.

четверг, 20 декабря 2012 г.

Долго ли ждать подобного момента?

Сейчас 20:12 20.12 2012: 20 часов 12 минут 20-е число 12-го месяца 2012 года. Как и в посте про момент из одних двенадцаток, сначала я хотел написать, что ждать следующую аналогичную минуту почти 90 лет, но затем задумался.

Ведь на Земле используются разные календари. И если вы пропустили занимательное нумерологическое мгновение у нас, возможно, просто стоит отправиться в путешествие?

Мои соображения полностью оправдались. Оказывается, в Иране сейчас идёт 1391 год, а конретно 30-е число 9-го месяца. И меньше, чем через 10 лет там наступит 14:01 14.01 1401г. У нас это будет 3 апреля 2022 года.

А можно ждать меньше года, если поехать в Эфиопию. Там сейчас 2005-й год, так что ещё целых 7 лет можно наблюдать мгновения из повторяющихся групп цифр.

В Северной Корее сейчас 101-й год Чучхе, что также открывает целую серию занимательных календарных числовых конфигураций.

вторник, 18 декабря 2012 г.

Формулы понижения степени

Хотя в блоге можно найти и удивительные свойста числа 2013, и математические фокусы, и магические квадраты, больше всего посетителей привлекает сюда статья о правиле выноса из-под корня.

В комментариях к ней читатели задают вопросы и по другим разделам математики. Вот, например, обсуждение формулы понижения степени достойно отдельного поста.

Итак, имеем форулу косинуса двойного угла,
cos2a = cos2a - sin2a

Прибавим к обеим частям единицу
cos2a +1 = cos2a - sin2a + cos2a + sin2a
cos2a +1 = 2cos2a

Поэтому:
формула понижения степени

Так что вместо второй степени косинуса можно использовать косинус первой степени, но удвоенного угла. Аналогично квадрат синуса можно также заменять первой степенью косинуса (просто вместо прибавления единицы на первом шаге преобразования, её надо отнять):
формула понижения степени

Возникает справедливый вопрос: а можно ли понизить третью степень косинуса или синуса? Рассуждая по аналогии, попробуем вывести нужную формулу из формул тройного угла.

cos3a = cos(2a + a) = cos2a cosa - sin2a sina = (cos2a - sin2a) cosa - 2sina cosa sina = cos3a - 3sin2a cosa = cos3a - 3(1- cos2a) cosa = 4cos3a - 3cosa

Значит, куб косинуса можно представить как:
формула понижения степени косинуса в кубе

Аналогично для куба синуса:

формула понижения степени синуса в кубе

Для решения тригонометрических уравнений то, что после понижения степени мы получили функции от разных переменных, несколько неудобно. Но вот при интегрировании тригонометрических функций этот факт нискольrо не мешает.

Например:
формула понижения степени синуса в кубе

Кстати, при взятиях интегралов и не только возникает нужда преобразовывать произведение тригонометрических функций в сумму. Об этом и других тригонометрических формулах есть статья-справочник в разделе "Математика в школе" блога "Эвольвента"

среда, 12 декабря 2012 г.

12:12:12 12/12/12

Сейчас удивительное мгновение: 12 часов 12 минут 12 секунд 12-го числа 12-го месяца 12-го года. Следующий такой момент, записываемый шестью одинаковыми числами, будет уже только в следующем веке.

вторник, 20 ноября 2012 г.

2013 из семи цифр

Наш читатель Семёныч нашёл два примера, связывающих первые 7 цифр с номером нового года:

123 + 45 * 6 * 7 = 2013

1 + 2 * (3 + 45) - 6 * 7 = 2013

понедельник, 19 ноября 2012 г.

2013 из троек

Красивое выражение, дающее в результате номер следующего года, нашёл Семёныч, ведущий раздела "Кладовая числовых диковинок" на Назве.

333 + 3 + 333 + 3 + 333 + 3 + 333 + 3 + 333 + 3 + 333 = 2013

воскресенье, 18 ноября 2012 г.

Танцующие делители


Читатели блога поделились ссылкой на чудесную анимацию. В ней для каждого натурального числа на экране располагаются соответствующее количество разноцветных точек. Расположение зависит от разложения числа на простые множители. Справа показан узор для числа 30.

Но лучше один раз увидеть :) Посмотреть анимацию можно здесь

суббота, 17 ноября 2012 г.

Что такое куча?

Лежит куча песка. Если из кучи забрать одну песчинку, ку так кучей и останется. Но ведь продолжая забирать из кучи по песчине, в итоге от самой кучи тоже только песчинка и останется. Что же, выходит, песчинка тоже является кучей?

Как говорил Рене Декарт, "Определив точно значения слов, вы избавите человечество от половины заблуждений." Но попытавшись выяснить, что такое куча, мы столкнёмся с неожиданным затруднением. Разные люди будут определять это понятие по-разному. Более того, будет существовать некоторое количество печинок, для которого сложно будет сказать, куча это или нет.

Обычно рассматриваемые в логике свойства или есть или нет (монета может быть фальшивой или настоящей, путешественник может или лгать или говорить правду). А, попросив 1000 человек сказать, с какого количества песчинок начинается куча, мы получим примерно такой график:

Если число песчинок превышает некоторе n, все будут абсолютно уверены, что имеющийся песок можно назвать кучей. А вот для меньших значений кто-то согласится называть персок так, кто-то - нет.

С подобными понятиями, истинность которых описывается не через да/нет, а через некоторую функцию принадлежности, оперирует раздел математики, называемый нечёткой логикой (fuzzy-logics). Мы, сами часто того не замечая, постоянно пользуемся нечёткими переменными. Фраза "собираемся в два" вовсе не означает, что все участники встречи будут на месте ровно в 14-00. Или "на улице тепло" - это сколько градусов?

Так что нечёткая логика имеет большое значение в интерпретации компьютером естественного языка человека.

пятница, 16 ноября 2012 г.

Кривизна рук

Иногда вместо устойчивого выражение "кривые руки" говорят вычурнее, скажем "вероятность ошибки прямо пропорциональна радиусу кривизны рук пользователя".


Однако с математической точки зрения, чем больше радиус кривизны дуги. тем она "прямее". А прямую вообще в некоторых задачах удобно рассматривать как окружность с бесконечным радиусом.

Так что вероятность ошибки должна быть не прямо, а обратно пропорциональна радиусу кривизны рук :)

 

четверг, 15 ноября 2012 г.

Пока 2012 год не закончился

В поисках интересных свойств числа 2013 я обратил внимание на то, что число 20 - это 12-е натуральное число, не являющееся простым.

среда, 14 ноября 2012 г.

Среднее арифметико-геометрическое

Что такое среднее арифметическое и среднее геометрическое хорошо известно. Оказывается, есть ещё один вид среднего, объединяющий эти два подхода.

Возьмём два числа, a и b. Затем заменим число a на их среднее арифметическое, а b - на среднее геометрическое. Будем поступать так до тех пор, пока разность между a и b не будет меньше требуемой точности.

На листе ГуглДоков вы можете поэкспериментировать с арифметико-геометрическим средним.

Обозначается это среднее как AGM(a,b) (от Arithmetic–geometric mean).

Например, AGM (1,2) = 1,45679...

вторник, 13 ноября 2012 г.

Злые числа

Если сложив от первой до некоторой n-й цифры дробной части числа x можно получить репдигит 666, то число x называют злым. Оказывается, злыми являются число пи и константа золотого сечения число фи. Требуемая сумма получается при складывании первых 144 или 146 цифр, соответственно.

Такое определение опять зависимо от выбранной системы счисления (кстати, в двоичной системе все иррациональные числа будут злыми). Но если рассмотреть аналогичным образом разложение числа в цепную дробь, от выбранной системы независящее, то и тут число пи окажется злым! Сумма первых 56 звеньев его цепной дроби даст 666.

понедельник, 12 ноября 2012 г.

Экономные числа

Разложим натуральное число на простые множители. Запись его разложения может иметь как больше цифр, чем само число (например, 2013 = 3*11*61), столько же цифр (27 = 33) или даже быть короче (1701 = 37*7 )

Числа первого вида в занимательной математике называются избыточными (wasteful). Это уже третье определение избыточного числа (первое относится к базовому свойству числа - сумме делителей, а второе - к названию числа в определённом языке).

Числа, разбиение которых на простые множители использует (с учётом больших единицы показателей степеней) столько же цифр, сколько их в самом числе, называются равноциферными (equidigital). В частности, все простые числа - равноциферны в любой системе счисления.

А те же числа, факторизация которых имеет меньше цифр, чем само число, называются экономными (economical). Наименьшее экономное число для десятичной системы - это 125 = 53. Затем идут 128 = 27 и 243 = 73

 

суббота, 10 ноября 2012 г.

Дважды за день

Сегодня случится два таких момента, когда дата и время образуют арифметическую прогрессию.

Первый раз - утром, в 07:08:09 10.11.12 . Второй - днём, 10.11.12 в 13:14:15

пятница, 9 ноября 2012 г.

Избыточные числа

Как-то я писал об избыточных числах. Но, оказывается, есть и другой смысл у этого термина, перекликающийся с задачей о поиске честных чисел.

Иногда альтернативная форма представления числа оказывается короче (имеет меньше букв), чем числительное - его название. Например, вместо "двадцать семь" (12 букв) можно сказать "три в кубе" (8 букв). Поэтому число 27 в русском языке является избыточным.

Интересно найти все избыточные числа, например, в первой сотне.


четверг, 8 ноября 2012 г.

Что толку в занимательной математике?

Иногда к математическим забавам вроде палиндромов, магических квадратов, фрактальных картинок или правильно-неправильных действий относятся скептически. Дескать, какая может быть практическая польза от этих игр с цифрами?

Если пользы от простой разминки ума покажется недостаточно, можно привести цитату из книги "Мелкие боги" Терри Пратчетта.

«Брута поднял глаза. На самом верху башни металлическими полосами был закреплен сверкающий на солнце большой диск.

– Что это? – прошептал он.

– Причина, по которой у Омнии больше нет флота, – ответил Ом. – Вот почему так полезно иметь под рукой нескольких философов. Они размышляют себе на тему «Истина – это красота, или красота – это истина?» или «Производит ли шум падающее в лесу дерево, если никто его не слышит?», а потом, когда ты уже решишь, что они вообще вот-вот обслюнявятся, один из них и говорит этак невзначай: «Интересной демонстрацией принципов оптики будет размещение на высоком месте тридцатифутового параболического зеркала, способного направлять солнечные лучи на вражеский флот». Философам приходят в голову удивительные идеи. А незадолго до этого в целях демонстрации принципа рычага было изобретено замысловатое устройство, способное метать шары горящей серы на расстояние в две мили. А до этого, насколько я помню, было придумано какое-то подводное судно, которое втыкало в днища кораблей заостренные бревна.»

Так вот, никогда не знаешь, каким практическим вопросам вдруг послужат задачки занимательной математики. Может быть, это будут новые алгоритмы шифрования, дешифрования, сжатия, может быть, что-либо ещё. Но, разумеется, мы любим занимательную математику вовсе не потому. Просто это весело!

среда, 7 ноября 2012 г.

Честные числа

С нового учебного года я начал читать два интересных блога по русскому языку. Блог ученика  Мир глазами человека и блог учителя Оно вам надо!


В ученическом блоге даются советы по подготовке к олимпиаде "Русский медвежонок", объясняются некоторые неочевидные правила, публикуются новости из других областей науки. Почитав же учительский блог, я тоже узнал много нового и искренне обрадовался за учеников, с которыми работает такой замечательный педагог, как его автор.

Так вот, на днях я вспомнил об одной задаче, лежащей на стыке языка и математики. Когда-то мы вместе с форумчанами Назвы и Смекалки искали самоописывающие выражения, то есть такие, количество букв в словесном описании которых равно их числовому значению. Как, например, в слове "три" ровно 3 буквы, а во фразе "два в кубе" букв 8.


После дальнейшего размышления оказалось, что есть способ построить подобное выражение для любого натурального числа, большего семи.

два в кубе = 8
трижды три = 9
дважды пять = 10
одиннадцать = 11
трижды четыре = 12
три плюс десять = 13
пять плюс девять = 14
треть сорока пяти = 15
восемь плюс восемь = 16
два плюс пятнадцать = 17

А теперь воспользуемся тем, что во фразе "плюс десять" ровно 10 букв и будем добавлять её к предыдущим выражениям:
два в кубе плюс десять = 18
трижды три плюс десять = 19
дважды пять плюс десять = 20
одиннадцать плюс десять = 21
......
дважды пять плюс десять плюс десять плюс десять плюс десять плюс десять плюс десять плюс десять плюс десять плюс десять = 100
......

Кстати, в англоязычной занимательной математике используется название "честные числа" (honest numbers). Там честными оказались числа 4, 8, 10, 11 и все, большие двенадцати.

Да, задача решена. Но не стало ли немного грустно от того, что решение оказалось таким простым и однообразным?

Чтобы продолжить наши математические развлечения, можно попробовать подбирать примеры, в которых бы не использовался плюс или в которых одно математическое действие не использовалось бы более раза.

Тогда выходит намного интереснее:

восьмое простое число = 19
антье корня из шестиста пяти = 24
логарифм десятичный ста дециллионов = 32
Приглашаю продолжить и заполнить пробелы!

По тегу "самоописывающее" в блоге можно найти много других интересных конструкций, как математических, так и языковых..

вторник, 6 ноября 2012 г.

Репдигит

Репдигит - это число, которое состоит из повторяющихся цифр. Например, 111 или 5555. Иногда к репдигитам относят и однозначные числа: 1, 2, ... 9.

Поскольку здесь мы имеем дело с цифрами, то в разных системах счисления разные числа окажутся репдигитами. Например, число 26 будет репдигитом в троичной системе, ведь там оно выглядит как 222.

Репдигитом в тринадцатеричной системе счисления является число 2013. А некоторые числа являются репдигитами в нескольких системах. Сразу заметим, что любое число n записывается как 11 в системе счисления с основанием n-1 и является однозначным в системах с основанием n+1 и более.

Если рассматривать только системы счисления с основанием менее n-1, первым нетривиальным множественным репдигитом будет число 15. В двоичной системе оно запишется как 1111, а в четверичной - как 33.

Следующее - число 24:
(24)10 = (44)5 = (44)5 = (33)7 = (22)11

понедельник, 5 ноября 2012 г.

Число с делителями

Сумма числа 2013 и его простых делителей
2013 + 3 + 11 + 61 = 2088

равна сумме числа 2014 со своими простыми делителями:
2014 + 2 + 19 + 53 = 2088

воскресенье, 4 ноября 2012 г.

Три системы

Запишем число 2013 в двоичной системе:
(2013)10=(11111011101)2

В троичной:
(2013)10=(2202120)3

И в пятеричной:
(2013)10=(31023)5

Так вот, во всех этих трёх представлениях суммы цифр одинаковы!

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 =  2 + 2 + 0 + 2 + 1 + 2 + 0 = 3 + 1 + 0 + 2 + 3

суббота, 3 ноября 2012 г.

Тринадцатеричная система

2013 = 11 х 132 + 11 х 13 + 11
Поэтому в тринадцатеричной системе число записывается как (BBB)13

В системе счисления по основанию 13 цифры А, В, С обозначают десятичные числа 10, 11 и 12.

пятница, 2 ноября 2012 г.

Число Смита второй кратности

Числа Смита - это такие числа, сумма цифр которых равна сумме цифр их простых делителей.

Например, 728 = 2 х 2 х 2 х 7 х 13

7 + 2 + 8 = 2 + 2 + 2 + 7 + 1 + 3

Число 2013 - это число Смита второй кратности. Для него сумма цифр всех простых множителей вдвое больше суммы цифр числа.

2013 = 3 х 11 х 61
(2 + 0 + 1 + 3) х 2 = 3 + 1 + 1 + 6 + 1

четверг, 1 ноября 2012 г.

Готовимся к новому году

Через 2 месяца наступает новый, 2013 год, и пора начинать собирать интересные свойства этого числа.

Во-первых, 2013 раскладывается на простые множители как:
2013 = 3 х 11 х 61

Таким образом, у числа 8 делителей:
1, 3, 11, 33, 61, 183, 671 и 2013

Оно начинает серию из трёх идущих подряд чисел, имеющих 3 разных простых множителя (и, соответственно, 8 делителей):

2014 = 2 х 19 х 53

2015 = 5 х 13 х 31

Понятно, что длиннее серий не существует, т.к. среди четырёх подряд идущих чисел одно будет делиться на 4 и, следовательно, иметь кратный простой множитель.

Предыдущая такая серия начиналась с числа 1885, а следующая начнётся с 2665

среда, 31 октября 2012 г.

де Карт

Декартову систему координат изучают в 7 классе. А в англоязычной математике её называют картезианской (Cartesian).

Просто свои научные труды Рене Декарт издавал под латинизированным вариантом имени: Renatus Cartesius. Где-то мне попадалось и написание де Карт (как в заголовке поста), но даже во французской википедии написание фамилии только слитное: Descartes. Если кто-то из читателей сможет пролить свет на этот вопрос, буду благодарен.

Декарт участвовал в осаде Ля-Рошели и вполне мог пересекаться с прототипами д'Артаньяна и трёх мушкетёров.

Предложенная им система координат помогла несколько сократить число дуэлей в Париже. Дело в том, что в театре из-за мест часто возникали ссоры, превращавшиеся в кровопролитие. А введение системы "ряд-место" и присвоение каждому билету отдельных координат помогло уменьшить число недоразумений.

Родной город Декарта, Лаэ, был в 1802 году переименован в Лаэ-Декарт, а в 1967 - в Декарт.

вторник, 30 октября 2012 г.

Коварный дискриминант

В интересном образовательном блоге "Привычка не думать" я прочёл одну поучительную историю. Молодой учитель математики решил применить новый подход при изучении темы "Квадратные уравнения". Он на первом же уроке дал детям формулу дискриминанта и метод нахождения корней, не размениваясь на преварительные темы.

Дети выходили к доске, поглядывая на записанную рядом общую формулу решения уравнения ax2 + bx + c = 0, находили дискриминант, и щёлкали примеры как орешки. Казалось бы - прорыв в педагогике!

 Но старший коллега предложил на следующем занятии проверить закрепление навыков  и дать несложную контрольную. В ней были примеры наподобие:
4x - 4x2 - 1 = 0,
2 + 7x + 5 = 0,
x2 + 3x2 + 5x2 = 0,
3x + 5 - 2x -7 = 0

Как видите, часть уравнений была вовсе линейными, а другая требовала несложных преобразований. Но ко всем этим примерам дети исправно применяли вызубренную, но не осмысленную формулу дискриминанта. В последнем случае на четвёртый коэффициент, не помещавшееся в формулу, просто не обращали внимания.

Вот, что бывает, когда делается упор на обучение без понимания.

А тут я когда-то писал, откуда вообще взялся этот дискриминант.

понедельник, 29 октября 2012 г.

Факторион

Факторион - это число, равное сумме факториалов своих цифр. Об одном факторионе я писал в одном из первых постов блога. Кстати, если вы читаете блог с недавнего времени, рекомендую просмотреть архивные посты 2010 года.

Итак, в десятичной системе счисления существует 4 факториона.
1! = 1
2! = 2
1! + 4! + 5! = 145
4! + 0! + 5! + 8! + 5! = 40585

И для операции субфакториала существует аналогичное число:

148349 = !1 + !4 + !8 + !3 + !4 + !9
его нашёл в 1979 году J. S. Madachy

воскресенье, 28 октября 2012 г.

Субфакториал

Факториал числа n выражает количество способов расставить n разных предметов в ряд. Если же требуется расставить эти же n предметов в ряд, но так, чтобы никакой из предметов не стоял бы на своём месте, количество расстановок подсчитывается с помощью субфакториала.

Поясним на примерах. Два предмета можно расставить единственным способом так, чтобы первый предмет стоял не на первом месте, а второй - не на втором. Это будет расстановка (2, 1).

Для трёх предметов будет 2 способа: (2, 3, 1) и (3, 1, 2)

Для четырёх предметов уже выходит целых 9 способов: (2, 1, 4, 3), (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 1, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2), (4, 3, 2, 1).

Обозначается субфакториал восклицательным знаком перед числом.
!4 = 9.

Вычисляется он по формуле:
формула субфакториала  

суббота, 27 октября 2012 г.

Факториал дробных чисел


Вычислим факториалы нескольких натуральных чисел и отметим точки (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24) и т.д.на прямоугольной системе координат.


Что если попробовать плавной линией соединить эти точки и найти функцию, график которой имел бы такой вид? Тогда можно было бы вычислять факториал от любых чисел, не только от натуральных.
Об этом математики задумались в начале XVIII века. Если такая функция f(x) существует, она должна удовлетворять условию f(x) = x f(x-1), т.е. рекурсивному определению факториала. В 1729 году Леонард Эйлер нашёл способ получить факториал в виде бесконечного произведения, в которое в качестве аргумента можно было подставлять и дробные числа.

гамма-функция, факториал дробного числа

Вот как будет работать эта формула для n = 4, например:

гамма-функция, факториал дробного числа

Сходится произведение довольно медленно, я проверил в Экселе. Для того, чтобы произведение превысило 23, нужно взять 139 множителей, а чтобы добраться до 23,5, множителей нужно уже 283. На 1435-м шагу произведение доходит до 23,4, ну а в бесконечности будет равно 24

Я выложил лист для вычисления факториала в гугл доки. Меняете n и смотрите, к чему будут стремиться частичные произведения.

Чуть позже Эйлер выразил факториал в виде несобственного интеграла:
гамма-функция, факториал дробного числа

Применим к нему метод интегрирования частями, взяв u = (-ln x)n, dv = dx:

гамма-функция, факториал дробного числа

Требуемое свойство выполняется.

Заменой t = −ln x этот интеграл принимает используемый в настоящее время вид и известен как гамма-функция.

гамма-функция, факториал дробного числа

Аргументами её могут быть не только дробные или даже отрицательные числа, но и комплексные.


гамма-функция, факториал дробного числа



гамма-функция, факториал дробного числа

Для натуральных аргументов Г(n) = (n-1)!

Шотландский математик Джеймс Стирлинг был современником Эйлера и вывел формулу, позволяющую приближённо вычислять факториал для больших чисел.

А вот как я использовал факториал на математических часах.

пятница, 26 октября 2012 г.

Факториал нуля

Как легко догалались читатели, в софизме-сенсации восклицательный знак является не знаком препинания, а символом факториала.

Для натурального числа n его факториал - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Например, 5! = 1*2*3*4*5 = 120.

Факториал часто используется в комбинаторике. Если у нас есть 5 разных предметов, то расставить их в ряд можно ровно 5! способами.

Действительно, на первое место можно поставить любой предмет из пяти, на следующее - любой из оставшихся четырёх, далее - один из трёх, на четвёртое место - один из двух, и на пятой позиции окажется единственый оставшийся предмет.

Всего вариантов расстановки будет 5*4*3*2*1 = 5!

А сколькими способами можно расставить в ряд 0 предметов? Ровно одним - когда мы получаем пустой ряд. Вот поэтому принято, что 0! = 1.

четверг, 25 октября 2012 г.

Простые квадраты

Мой хороший друг Наталия Макарова участвует в новом программистско-математическом конкурсе и приглашает присоединиться всех желающих.

Суть задачи в следующем. Рассмотрим квадрат NxN, заполненный натуральными числами от 1 до N2. Подсчитаем суммы чисел в N строках, N столбцах, N ломанных диагоналях, наклонённых вправо и N ломанных диагоналях с наклоном влево.

Вот как выглядят ломанные диагонали:

Необходимо расставить числа в квадрате так, чтобы из этих 4N сумм ровно 2N оказались простыми числами. И при этом сумма всех простых сумм оказалась бы или наибольшей или наименьшей возможной.

Возьмём для примера вот такую нумерацию квадрата 3 на 3:
Как видим, среди двенадцати сумм простыми являются ровно 6: 17, 13, 17, 19, 7, 19. Сумма этух простых сумм равна 17 + 13 + 17 + 19 + 7 + 19 = 92

Сможет ли кто-то переставить числа в ячейках так, чтобыпростых сумм по-прежнему оставалось шесть, а их сумма увеличилась бы или уменьшилась?

Поправка:
Наталия уточнила, что количество простых сумм может и превосходитьл 2N, а вот различных простых среди них должно строго равняться 2N. Так что мой вариант нумерации квадрата в конкурсе не прошёл бы. Тем не менее, вопрос остаётся открытым - кто сможет назнумеровать квадрат 3х3 числами от 1 до 9 так, чтобы среди 4N сумм по вертикалям, горизонталям и ломанных диагоналям нашлось ровно 2N разных простых чисел?

Обсуждение конкурса идёт на русском математическом форуме.

Официальный сайт конкурса.

среда, 24 октября 2012 г.

Игра в кости

В книге Терри Пратчетта "Цвет волшебства" боги Плоского мира играют в кости:

Несмотря на то, что игровой стаканчик едва шевельнулся, звук загремевших игральных костей разнесся по всему залу. Потом богиня вытряхнула кубики на стол, и они, подпрыгивая, покатились по поверхности.

Шестерка. Тройка. Пятерка.

Однако с пятеркой происходило что-то странное. Кубик, который подтолкнуло случайное столкновение сразу нескольких миллиардов молекул, качнулся на один из углов, медленно перевернулся и… сверху оказалась семерка.

Слепой Ио поднял кубик и сосчитал грани.
– Послушайте, – устало сказал он. – Давайте играть честно.

вторник, 23 октября 2012 г.

Переставляем цифры и складываем

Возьмём некоторое натуральное число. Переставим как-нибудь его цифры и прибавим новое число к исходному. Какой минимальный результат может получиться, если сделать несколько таких шагов?

Например, если начать с единицы, то наименьшим числом, которое можно получить за 10 шагов, будет число 466.



Всё вполне интуитивно: переставляем цифры в восходящем порядке, чтобы каждое сложение  как можно меньше увеличивало результат. Однако если найти наименьшее число, которое можно получить за 11 шагов, им окажется не 932 = 466 + 466, а 896, находящееся в совершенно иной ветке:


Как видите, во второй ветви четырежды цифры сортировались не в строго возрастающем порядке, что позволило получить два числа с нулями. Эти нули, будучи выведенными вперёд в слагаемых, помогли сократить конечный результат.

А теперь вопрос. Какое наибольшее число шагов можно успеть сделать, пока число не станет пятизначным?

понедельник, 22 октября 2012 г.

А теперь правда 1 = 0!

Разумеется, равенство 0 = 1 неправильно. Но, оказывается, с математической точки зрения абсолютно правильной является запись 1 = 0!

А как думаете, почему?

воскресенье, 21 октября 2012 г.

Раз, два, три...

Посчитаем до семи: "раз, два, три, четыре, пять, шесть, семь". Оказывается, мы использовали столько букв, чему равна сумма чисел от 1 до 7, т.е. 28.

суббота, 20 октября 2012 г.

У кубика нет памяти

Факт, о котором забывают азартные игроки, ловя призрачную удачу за хвост - у механических генераторов случайных чисел (монета, кубик, волчок, лототрон, рулетка) нет памяти. Результаты, которые выдавались при предыдущих испытаниях, никак не влияют на исход следующего опыта. Разумеется, если само устройство "честное" и нет никаких утяжелений и перекосов.

Поэтому, если, например, пять предыдущих бросков кубика были 1, 5, 3, 4, 2, то нельзя надеяться, что шестой бросок даст шестёрку. Любая из последовательностей:
1, 5, 3, 4, 2, 1
1, 5, 3, 4, 2, 2
1, 5, 3, 4, 2, 3
1, 5, 3, 4, 2, 4
1, 5, 3, 4, 2, 5
1, 5, 3, 4, 2, 6
равновероятна.

В общем случае, если вероятность события равна вероятность получить результат, то после n бросков оно не наступит с вероятностью вероятность получить результат . Соответственно, шансы положительного исхода серии из n опытов составят вероятность получить результат

С ростом n эта величина стремится к вероятность получить результат

Причём уже для кубика вероятность вероятность получить результат мало отличается от этой.

Чтобы получить исход с вероятностью более 99% надо, чтобы вероятность отрицательного исхода уменьшилась до 1%.

Решим неравенство
неравенство
неравенство
неравенство

Значит, чтобы получить положительный исход с вероятностью 99% нужно провести 4,6n опытов!

Поэтому в ситуации с зарождением жизни для верности пробовать надо было не 200 000 000, а почти миллиард раз.

Но порой в азартных играх случаются почти невероятные события! Вот как однажды сыграли в кости шведский и норвежский короли

пятница, 19 октября 2012 г.

Сколько нужно попыток

В одной замечательной сказке Бормора о демиургах Шамбамбукли пытается создать жизнь по науке, из первичного бульона. Его друг Мазукта замечает, что шанс успеха эксперимента одна двухсотмиллионная, поэтому для получения результата нужно повторить всё двести миллионов раз.

Так рассуждаем часто и мы (например, если вероятность выпадения единицы на кубике одна шестая, то через шесть бросков она наверняка выпадет). На самом деле бросков понадобится намного больше, и сейчас я расскажу, почему.

Рассмотрим простейший случай - бросок монеты. Орёл в среднем выпадает при половине бросков. Но можем ли мы наверняка утверждать, что среди двух бросков наверняка будет орёл?

Конечно, нет. Два броска могут дать четыре разных исхода: ОО, ОР, РО, РР (два орла, орёл-решка, решка-орёл и решка-решка). Итого вероятность того, что орёл ни разу не выпадет при двух бросках равна 25%..

С вероятностью 25% стоит считаться. Сколько же бросков монеты следует сделать, чтобы вероятность абсолютного невыпадения орла сократилась хотя бы до пяти процентов?

Каждый следующий бросок может дать орёл с вероятностью 50%. Значит, шансы не получить ни одного орла при трёх бросках равны 12,5%, при четырёх - 6,25% и при пяти - 3,125%.

Таким образом, если бросить монету пять раз, орёл выпадет с вероятностью почти 97%. Чтобы эта вероятность превысила 99%, следует сделать ещё два броска. Действительно, ведь вероятность того, что все семь бросков монеты дадут в результате решки, равна вероятность меньше процента

Итак, чтобы почти наверняка (с вероятностью более 99%) получить орёл, монетку нужно бросить целых 7 раз!

Кстати, вот видео, как парень выбрасывает 10 орлов подряд (и разоблачение этого чисто математического фокуса).

четверг, 18 октября 2012 г.

Все цифры

Интересный пример на сложение, в котором используются по разу все десять цифр, нашёл на школьной математической олимпиаде ученик 6 класса Дмитрий Старченко

5 + 87 + 934 = 1026

среда, 17 октября 2012 г.

89

Если начать процесс "переверни и сложи" с числа 89, то палиндром получится через 24 шага! Это рекорд для чисел, не превосходящих 10 000.

В результате получим палиндром 8813200023188.

Кстати, сам процесс складывания числа с самим собой, но записанным в обратном порядке, в англоязычной литературе часто называется Алгоритмом-196, по числу, с которым связана до сих пор нерешённая задача. Числа, которые, как и 196, не дают палиндром после некоторого числа шагов, называются числами Лишрел.

Реализация алгоритма-196 - очень хороший практикум для изучающих программирование.

вторник, 16 октября 2012 г.

И снова 0 = 1

Интересный способ доказать, что 1 = 2 использует корень из минус единицы.

Начнём с очевидного:
софизм 1 = 2 через комплексные числа

Извлечём корень:
софизм 1 = 2 через комплексные числа

Превратим корень из частного в частное корней:
софизм 1 = 2 через комплексные числа

Значит:
софизм 1 = 2 через комплексные числа

Разделим обе части на 2:
софизм 1 = 2 через комплексные числа

Прибавим к обеим частям по софизм 1 = 2 через комплексные числа, получим:
софизм 1 = 2 через комплексные числа

умножим обе части на i, раскроем скобки и учтём, что i2 = -1:
  софизм 1 = 2 через комплексные числа

софизм 1 = 2 через комплексные числа

софизм 1 = 2 через комплексные числа

1 = 2

0 = 1

понедельник, 15 октября 2012 г.

Ряд Фарея

Если записать в порядке возрастания все дроби, которые получились при приближении числа е методом медиант, получим последовательность:

ряд Фарея


Каждая дробь в ней равна медианте соседей. И для любых двух соседних дробей ряд Фарея, произведения ad и bc отличаются на 1.

 Эта последовательность называется рядом Фарея.

воскресенье, 14 октября 2012 г.

Приближение числа обыкновенной дробью

Используя свойство медианты, можно находить рациональные приближения чисел. Покажем это на примере числа е .

Число е находится между двумя целыми числами:
2 < e < 3

Запишем границы в виде дробей:
приближение числа е через медианты

Теперь сравним е с медиантой границ:
приближение числа е через медианты

Значит, левую границу можно подвинуть:
  приближение числа е через медианты

Следующее сравнение с новой медиантой:
  приближение числа е через медианты

Снова уточняем оценку:
  приближение числа е через медианты

И продолжаем сравнивать число е с медиантой новый границ. В зависимости от результат сравнения будем пододвигать левую или правую границы:

 приближение числа е через медианты
приближение числа е через медианты
приближение числа е через медианты
Дальше буду писать только по одной границе для компактности:
 приближение числа е через медианты

приближение числа е через медианты

приближение числа е через медианты

приближение числа е через медианты

приближение числа е через медианты

Последнее приближение отличается от е всего на две стотысячных.

Взглянем на сам процесс приближения числа е через медианты внимательнее. Подсчитаем, сколько шагов проходило до того, как новая медианта оказывалась с другой стороны от числа. Получим: 1 дробь справа (e < 3), 2 дроби слева, 1 дробь справа, 1 дробь - слева, 4 дроби справа, 1 дробь - слева, 1 дробь - справа.

Но ведь это звенья разложения дробной части числа е в цепную дробь! [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1 ...]

Вот и ещё один алгоритм разложения числа в цепную дробь, имеющий намного больший запас точности, чем периодическая замена дробной части числа обратной величиной.

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время узор корень задача структура тригонометрия е сайты формулы игра конструкция факториал функции приближение программа фрактал график последовательность комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм неизвестное треугольник интеграл уравнение видео комплексные магический квадрат палиндром правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр