Дискриминант

Метод решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта знают почти все. Но, как мне пришлось убедиться, для многих эта формула: D = b² - 4ac кажется своего рода заклинанием. И почему для получения корней сначала нужно произвести именно такую операцию с коэффициентами - загадка.

Чтобы понять, откуда взялась формула дискриминанта и почему она работает, попробуем решить квадратное уравнение без неё.

Итак, имеем уравнение ax² + bx + c = 0, где первый коэффициент не равен нулю.

Для начала разделим обе части на a:

Было б здорово, если бы левую часть удалось свернуть по формуле квадрата суммы. Квадрат первого, x² , уже есть. Тогда удвоенным произведением первого на второе должно стать:

Квадрат второго будет равняться


Прибавим его и отнимем от левой части уравнения:

Соберём три слагаемых левой части в квадрат суммы, а оставшиеся два - перенесём вправо:

Приведём правую часть к общему знаменателю:

Вот он! Выражение b² - 4ac, стоящее в числителе правой части - и есть наш дискриминант. Почему же его знак определяет количество корней? Рассмотрим полученное уравнение внимательнее. Слева стоит квадрат. В знаменателе правой части - тоже квадрат. И только дискриминант может иметь любой знак. Поэтому, если он окажется отрицательным, полученное уравнение корней иметь не будет. Если нулевым - корень будет единственным (кстати, формула нахождения вершины параболы также происходит отсюда). И только для положительного дискриминанта будет 2 различных корня.

Ну а дальше - легко :)