вторник, 18 декабря 2012 г.

Формулы понижения степени

Хотя в блоге можно найти и удивительные свойста числа 2013, и математические фокусы, и магические квадраты, больше всего посетителей привлекает сюда статья о правиле выноса из-под корня.

В комментариях к ней читатели задают вопросы и по другим разделам математики. Вот, например, обсуждение формулы понижения степени достойно отдельного поста.

Итак, имеем форулу косинуса двойного угла,
cos2a = cos2a - sin2a

Прибавим к обеим частям единицу
cos2a +1 = cos2a - sin2a + cos2a + sin2a
cos2a +1 = 2cos2a

Поэтому:
формула понижения степени

Так что вместо второй степени косинуса можно использовать косинус первой степени, но удвоенного угла. Аналогично квадрат синуса можно также заменять первой степенью косинуса (просто вместо прибавления единицы на первом шаге преобразования, её надо отнять):
формула понижения степени

Возникает справедливый вопрос: а можно ли понизить третью степень косинуса или синуса? Рассуждая по аналогии, попробуем вывести нужную формулу из формул тройного угла.

cos3a = cos(2a + a) = cos2a cosa - sin2a sina = (cos2a - sin2a) cosa - 2sina cosa sina = cos3a - 3sin2a cosa = cos3a - 3(1- cos2a) cosa = 4cos3a - 3cosa

Значит, куб косинуса можно представить как:
формула понижения степени косинуса в кубе

Аналогично для куба синуса:

формула понижения степени синуса в кубе

Для решения тригонометрических уравнений то, что после понижения степени мы получили функции от разных переменных, несколько неудобно. Но вот при интегрировании тригонометрических функций этот факт нискольrо не мешает.

Например:
формула понижения степени синуса в кубе

Кстати, при взятиях интегралов и не только возникает нужда преобразовывать произведение тригонометрических функций в сумму. Об этом и других тригонометрических формулах есть статья-справочник в разделе "Математика в школе" блога "Эвольвента"

3 комментария:

  1. А если знать формулу синуса через мнимую экспоненту, то подобным образом можно расписывать и не только целые степени.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Кстати, хорошая тема для новой публикации. Скоро добавлюю её в Основного блога

      Удалить
  2. Анонимный11/4/13 09:18

    Hello there, I do believe уour webѕite сould рossіbly be haνіng browser compatibіlity problems.

    Whenevеr I takе a look at уour website іn Safaгi,
    іt looks fine however, if οpening in Ӏnternet Explorer, it's got some overlapping issues. I just wanted to give you a quick heads up! Besides that, wonderful site!

    my site short term loans

    ОтветитьУдалить

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время узор задача корень структура тригонометрия е конструкция сайты формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл уравнение видео комплексные магический квадрат палиндром правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр