Используя свойство медианты, можно находить рациональные приближения чисел. Покажем это на примере числа е .
Число е находится между двумя целыми числами:
2 < e < 3
Запишем границы в виде дробей:
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/92gabu7.png)
Теперь сравним е с медиантой границ:
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/8og82ed.png)
Значит, левую границу можно подвинуть:
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/9afmqnc.png)
Следующее сравнение с новой медиантой:
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/9qpyrsy.png)
Снова уточняем оценку:
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/9hzb4m4.png)
И продолжаем сравнивать число е с медиантой новый границ. В зависимости от результат сравнения будем пододвигать левую или правую границы:
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/9kx2xj3.png)
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/9jt2nkf.png)
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/969qck3.png)
Дальше буду писать только по одной границе для компактности:
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/9f4fhz7.png)
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/8jytubj.png)
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/9qyzbaa.png)
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/8ssq87c.png)
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/8p5zc3e.png)
Последнее приближение отличается от е всего на две стотысячных.
Взглянем на сам процесс приближения числа е через медианты внимательнее. Подсчитаем, сколько шагов проходило до того, как новая медианта оказывалась с другой стороны от числа. Получим: 1 дробь справа (e < 3), 2 дроби слева, 1 дробь справа, 1 дробь - слева, 4 дроби справа, 1 дробь - слева, 1 дробь - справа.
Но ведь это звенья разложения дробной части числа е в цепную дробь! [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1 ...]
Вот и ещё один алгоритм разложения числа в цепную дробь, имеющий намного больший запас точности, чем периодическая замена дробной части числа обратной величиной.
Число е находится между двумя целыми числами:
2 < e < 3
Запишем границы в виде дробей:
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/92gabu7.png)
Теперь сравним е с медиантой границ:
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/8og82ed.png)
Значит, левую границу можно подвинуть:
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/9afmqnc.png)
Следующее сравнение с новой медиантой:
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/9qpyrsy.png)
Снова уточняем оценку:
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/9hzb4m4.png)
И продолжаем сравнивать число е с медиантой новый границ. В зависимости от результат сравнения будем пододвигать левую или правую границы:
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/9kx2xj3.png)
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/9jt2nkf.png)
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/969qck3.png)
Дальше буду писать только по одной границе для компактности:
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/9f4fhz7.png)
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/8jytubj.png)
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/9qyzbaa.png)
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/8ssq87c.png)
![приближение числа е через медианты](http://mathurl.com/8p5zc3e.png)
Последнее приближение отличается от е всего на две стотысячных.
Взглянем на сам процесс приближения числа е через медианты внимательнее. Подсчитаем, сколько шагов проходило до того, как новая медианта оказывалась с другой стороны от числа. Получим: 1 дробь справа (e < 3), 2 дроби слева, 1 дробь справа, 1 дробь - слева, 4 дроби справа, 1 дробь - слева, 1 дробь - справа.
Но ведь это звенья разложения дробной части числа е в цепную дробь! [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1 ...]
Вот и ещё один алгоритм разложения числа в цепную дробь, имеющий намного больший запас точности, чем периодическая замена дробной части числа обратной величиной.
Комментариев нет:
Отправить комментарий