воскресенье, 14 октября 2012 г.

Приближение числа обыкновенной дробью

Используя свойство медианты, можно находить рациональные приближения чисел. Покажем это на примере числа е .

Число е находится между двумя целыми числами:
2 < e < 3

Запишем границы в виде дробей:
приближение числа е через медианты

Теперь сравним е с медиантой границ:
приближение числа е через медианты

Значит, левую границу можно подвинуть:
  приближение числа е через медианты

Следующее сравнение с новой медиантой:
  приближение числа е через медианты

Снова уточняем оценку:
  приближение числа е через медианты

И продолжаем сравнивать число е с медиантой новый границ. В зависимости от результат сравнения будем пододвигать левую или правую границы:

 приближение числа е через медианты
приближение числа е через медианты
приближение числа е через медианты
Дальше буду писать только по одной границе для компактности:
 приближение числа е через медианты

приближение числа е через медианты

приближение числа е через медианты

приближение числа е через медианты

приближение числа е через медианты

Последнее приближение отличается от е всего на две стотысячных.

Взглянем на сам процесс приближения числа е через медианты внимательнее. Подсчитаем, сколько шагов проходило до того, как новая медианта оказывалась с другой стороны от числа. Получим: 1 дробь справа (e < 3), 2 дроби слева, 1 дробь справа, 1 дробь - слева, 4 дроби справа, 1 дробь - слева, 1 дробь - справа.

Но ведь это звенья разложения дробной части числа е в цепную дробь! [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1 ...]

Вот и ещё один алгоритм разложения числа в цепную дробь, имеющий намного больший запас точности, чем периодическая замена дробной части числа обратной величиной.

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время узор задача корень структура тригонометрия е конструкция сайты формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл уравнение видео комплексные магический квадрат палиндром правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр