Матрицы с нулевым определителем

Ещё одна задачка про матрицы. Рассмотрим матрицы 3х3, элементами которых могут быть только нули, единицы и двойки. Всего таким матриц будет не особо много: $3^9 = 19 683$

Вопрос: у скольких из них определитель будет равен нулю?

Напомним: определитель матрицы

$\begin{pmatrix} a_{11} & a{12} & a{13} \\ a_{21} & a{22} & a{23} \\ a_{31} & a{32} & a{33} \end{pmatrix}$

равен разности двух сумм:

$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}$ минус  $a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{23}a_{32}a_{11}$

Задача на миллион долларов

Рассмотрим равенство в натуральных числах
A^x+B^y=C^z,
где показатели степерь больше двух.

Во всех удовлетворяющих условию примерах числа A, B и С имеютобщий делитель. Например:
3⁶+18³=3⁸

3³ + 6³ = 3⁵

7³ + 7⁴ = 14³

Американский миллиардер Эндрю Бил, банкир и любитель математики. предложил в 1993 году премию в 100 000  долларов за нахождение контрпримера, а в 200 году повысил сумму до миллиона.

Степени пятёрки как суммы квадратов

5¹= 1²+2²
5²= 3²+4²
5³=11²+2²
5⁴= 7²+24²
...
а) Найдите пару взаимно простых натуральных чисел, сумма квадратов которых равна 5⁵; то же самое для 5⁶ и 5^⁷.
б) докажите единственность разложения 5^n в сумму двух взаимно простых квадратов.

Задачу задал Константин Кноп в группе Математические задачи и головоломки на FB

Треугольное число - факториал?

Ряд факториалов - это числа, являющиеся произведениями всех натуральных чисел от 1 до некоторого n. Вот его первые 10 членов:
1 = 1
2 = 1х2
6 = 1х2х3
24 = 1х2х3х4
120 = 1х2х3х4х5
720 = 1х2х3х4х5х6
5040 = 1х2х3х4х5х6х7
40320 = 1х2х3х4х5х6х7х8
362820 = 1х2х3х4х5х6х7х8х9
3628200 = 1х2х3х4х5х6х7х8х9х10

Ряд треугольных чисел - это числа, являющиеся суммами всех натуральных чисел от 1 до некоторого n. Вот его первые 10 членов:
1 = 1
3 = 1+2
6 = 1+2+3
10 = 1+2+3+4
15 = 1+2+3+4+5
21 = 1+2+3+4+5+6
28 = 1+2+3+4+5+6+7
36 = 1+2+3+4+5+6+7+8
45 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9
55 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

Сразу бросается в глаза, что числа 1 и 6 встречаются в обоих рядах (и при этом на одинаковых позициях!) Интересно, будут ли ещё общие числа в этих рядах (не обязательно под одинаковым номером в каждой последовательности). Николай Авилов в фейсбуке утверждает, что как имимнум ещё одно такое число есть. Сможете ли вы его найти?

Удвоение куба с помощью оригами

С 17-м постом наш блог превышает результат 2014 года. Тогда в блоге был большой перерыв, так как я защищал диссертацию. А после защиты сделал вот такие математические часы и начал серию публикаций об изображённых на них формулах. Правда, дошёл только до числа 8, представленного как куб двойки. И пообещал написать что-то интересное про кубы.

Что именно я обещал написать о кубах, я не помню :) Но покажу сейчас нечто действительно интересное. А именно, как решить задачу удвоения куба, одну из трёх классических нерешаемых задач на построение. Нам не понадобятся никакие инструменты, достаточно квадратного кусочка бумаги.

Итак, задача удвоения куба сводится к нахождению двух отрезков, которые находятся в отношении $1 : \sqrt[3]2$

Берём квадратный лист бумаги.

Суперсовершенные числа

Про совершенные числа знают многие любители занимательной математики. А число, для которого сумма делителей его суммы делителей вдвое больше самого числа, называется суперсовершенным.

Например, число 16 делится на 1, 2, 4, 8, 16. Сумма его делителей равна 1+2+4+8+16 = 31

Число 31 делится на 1 и на 31. Сумма его делителей равна 1+31 = 32, что вдвое больше 16-ти.

Пока что все известные суперсовершенные числа чётные (между прочим, хорошим упражнением для ума было бы определить, какими дополнительными свойствами они должны обладать). Нечётные суперсовершенные числа, если они существуют, должны быть полными квадратами.

Количество разбиений

Берём число 28. Его можно представить в виде суммы нескольких слагаемых довольно большим количеством способов. Например:
28 = 14+14 = 20+5+3 = 10+9+5+1+1+1+1+1=...

А вот интересно, сколько среди этих разбиений будет таких, в которых сумма наибольшего и наименьшего слагаемого будет больше количества слагаемых? Разбиение из единственного числа тоже считается. Порядок слагаемых не играет роли.

Например, для числа 5 таких разбиений будет 4:
5, 4+1, 3+2, 3+1+1

Центрированное треугольное число

О треугольных, квадратных и прочих фигурных числах знают многие любители занимательной математики.

Но треугольники из монет, оказывается, можно формировать двумя способами. Первый, классический, был предаствлен ещё Пифагором, он описан в посте о треугольных и тетраэдрических числах. А вот второй.

Берём монету. Раскладываем вокруг неё три монеты. Вокруг образовавшегося треугольника раскладываем 6 монет. В следующем слое будет уже 9 монет, и так далее.



Таким образом формируется последовательность: 1, 4, 10, 19, 31...

По способу построения можно увидеть, что центрированное треугольное число равно утроенному обычному треугольному числу меньшего порядка, увеличенному на единицу.



Интересно, что число 10 является одновременно и треугольным, и центрированным треугольным, и тетраэдрическим числом. Найдутся ли ещё числа с таким свойством? Или, хотя бы, принадлежащие двум из этих трёх групп?

Арифметическая прогрессия из простых чисел

В самой длинной известной арифметической прогрессии, состоящей только из простых чисел, 26 членов.

Начинается она с числа 43 142 746 595 714 191, а каждый следующий член больше предыдущего на 5 283 234 035 979 900.

Бесконечной арифметической прогрессии, которая состояла бы только из простых чисел не существует. Однако, думаю, вы легко сможете придумать функцию от целого аргумента, f(n), значениями которой были бы только простые числа. Если придумаете - оставьте комментарий в списке нерешённых математических задач, где этот вопрос читателям уже более двух лет остаётся без ответа.

Количество разных ходов в шахматах

Из начальной позиции в шахматах у белых есть 20 вариантов хода. Столько же возможных ответов есть и у чёрных. Выходит, после первого хода может сложиться 400 разных позиций.

А вот интересно как нужно расставить на доске начальный комплект фигур, чтобы количество различных первых ходов было максимальным?

При подсчёте количества ходов будем считать, что пешки не двигались и они могут пойти своим ходом как на 1, так и на 2 клетки. А если король и ладья стоят на одной горизонтали и между ними нет фигур, то можно выполнить рокировку.

По аналогии с задачей о выражении числа пи, можно в решениях также учитывать различные условия:
- располагать фигуры по всей доске
- только на своей половине
- тоьлко в крайних двух горизоналях

Головоломка - путешествие по числовой сетке.

Эд Пегг опубликовал новую головоломку.

Начните с клетки с числом 44. Переместитесь из неё ходом ферзя (на любое число клеток по вертикали, горизонтали или диагонали), в клетку, число в которой отличается от предыдущего на 1.

Из новой клетки перейдите ходом ферзя в клетку, число в которой отличается от предыдущего на 2.

Затем перейдите к числу, отличающемуся на 3.

И так далее, всего в этой сетке нужно сделать 36 ходов.

Разбиение числа 24 на слагаемые

Число 24 можно разбить в сумму так, что сумма обратных величин этих слагаемых будет равна единице.

24 = 2+4+6+12

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12} = 1$

На math.hashcode.ru сейчас доказывают, что это верно и для любых натуральных чисел, превосходящих 24. Хотите присоединиться?

Минимальная суперперестановка

В строке 123412314231243121342132413214321 встречаются все возможные 24 перестановки строки "1234". Эта строка имеет минимально возможную длину.

Аналогичной минимальной строки для всех перестановок пяти цифр "12345" ещё не найдено.

Такие строки называются суперперестановками.

Избыточность числа 2014

Если избыточными числами называть те, которые меньше суммы всех своих собственных делителей, то число 2014 - не избыточно:

2014 > 1 + 2 + 19 + 38 + 53 + 106 + 1007

А по определению из этого поста, связанного с количеством цифр в простых множителях, число 2014 - избыточно, т.к. цифр в записи 2х19х53 пять, а не четыре.

Интересно, является ли число 2014 избыточным с лингвистической точки зрения? Можно ли вместо "две тысячи четырнадцать" (21 буква) обойтись более короткой фразой, однозначно определяющей данное число? Разумеется, фраза должна указывать на число 2014 независимо от даты на календаре, так что "следующий год" (12 букв) не подойдёт.

Цифры 2, 0, 1, 4

Перед новым годом на математических форумах играют в такую игру. Нужно из цифр номера года (0, 1, 2, 4) с помощью математических действий получить натуральные числа 1, 2, 3 и т.д.

Допускается использовать знаки +, -, х, :, корень, возведение в степень, скобки, "склеивание" цифр в число.

Так как среди четырёх цифр есть ноль, поначалу задача довольно простая:

1 = 1 + 2х0х4
2 = 2 + 1х0х4
3 = 1 + 2 + 0х4
4 = 4 + 2х0х1
5 = 4 + 1 + 2х0
6 = 4 + 2 + 1х0
7 = 1 + 2 + 4 + 0
8 = 2х4 + 1х0
9 = 2х4 + 1 + 0
$10 = 12-\sqrt{2}+0$

Кто сможет продолжить?

Математический Марафон

Обычно, если в публикациях блога наступает перерыв, это значит, что я работаю над новой игрой :) Сейчас это правда лишь отчасти, т.к. реализацию своей идеи одновременных ходов в шахматах я уже отправил на закрытое бета-тестирование. А в данный момент занят я решением интересных задач из Математического Марафона.



Владимир Лецко проводит уже 17-й тур этого соревнования. Прочитать условия задач можно, например, на научном форуме dxdy.ru.



В задаче с ближайшим сроком сдачи ответов (5 мая) рассматриваются числа, представимые в виде суммы ровно 4 своих (попарно различных) делителей. Как, скажем, число 12 = 6 + 3 + 2 + 1. Требуется найти стомиллиардное число с таким свойством.


Решения этой и других задач присылайте ведущему по адресу val-etc [at] yandex.ru

Список нерешённых математических задач

Нет, здесь не будут представлены задачи тысячелетия, за решение которых объявлены премии в миллион долларов. Просто за время существования блога я иногда в постах формулировал задачки, некоторые из которых пока не поддались читателям.

1. На реальной политической карте мира существуют 4 государства, все имеющие выход к морю и граничащие друг с другом. Как такое может быть? И нарушается ли при этом теорема о четырёх красках?

2. Хотя говорят, что задача поиска простых чисел - одна из самых сложных, вы легко можете привести пример функции f(n), значения которой будут только простыми числами. Нет ли тут противоречия?

3. Задачу о перестановке цифр и сложении решили на Назве, но в самом блоге пока не появилось комментария с правильной цепочкой преобразований.

4. Является ли "де" в фамилии Рене Декарта отдельной частицей? Просто заинтересовался, подбирая материалы для поста о нём, может быть, кто-то знает точно и расскажет.

5. Было найдено много примеров честных чисел, но всегда интересно расширить список.

6. Актуальна и аналогичная задача поиска избыточных чисел, правда, там найдено примеров поменьше.

7. Задача на продолжение последовательности пока держится, хотя я дал уже 3 подсказки.

8. Задача про трёхзначное число решена для десятичной системы счисления. Остаётся найти такую систему, в которой она бы имела 2 решения.

9. На 50% решена задача о неизменном трёхциферном окончании.

10. Софизм про 2 + 2 = 5, видимо, был знаком многим читателям блога, потому комментариев к нему не появилось, но если кто сталкивается с подобным доказательством впервые, поискать ошибку было бы интересно и полезно.

11. На сколько частей разобьют плоскость n прямых общего положения?

12. Здесь мы ищем треугольники с целой площадью и последовательными целыми сторонами.

13. А тут нужно найти четвёртую из дробей, допускающих правильно-неправильное сокращение.

14. Вот на эту задачу о дробях и играх с цифрами сам не знаю ответа, но интересно поискать.

15. Вот ещё одна задача о перестановке цифр, решения которой я не знаю. Она вполне могла бы быть темой для исследовательской работы в Малой академии наук по секции Математика или Программирование.

Интересные факты о математике

А знаете ли вы, что...

• Бросая иголку на паркетный пол, можно вычислить число пи;
• На реальной политической карте мира нарушается теорема о четырёх красках;
• Не существует универсального алгоритма, определяющего, зациклится ли некоторый данный алгоритм или нет;
• Соломинка и бублик с точки зрения одного из разделов математики - одно и то же;
• Плоскость можно полностью замостить квадратами со сторонами 1, 2, 3, 4, 5 и т.д., взяв каждый ровно по одному разу;
• Можно туристу дать такую последовательность инструкций, которая приведёт его в нужную точку, где бы он изначально не находился;
• Существует арифметическая прогрессия любой наперёд заданной длины, все члены которой - простые числа;
• Существует даже функция от натурального аргумента, все значения которой - простые числа;
• Со времени присуждения премии института Клэя Григорию Перельману, новых публикаций в этом разделе сайта не появлялось;
• Кроме $2^3$ и $3^2$ не существует больше последовательных натуральных чисел, являющих степенями;

Обычно первого апреля я в блоге публикую софизмы или разные математические розыгрыши, но в этот раз все утверждения в списке - правда. Для некоторых из них стоит подумать, как такое возможно. Так что жду комментариев!

Десятью словами

Как-то я предлагал задачку описать натуральные числа фразами, состоящими из меньше числа букв, чем соответствующее числительное.

Например, вместо "двадцать семь" можно сказать "три в кубе", вместо "пятьдесят" - "полсотни".

Рассмотрим другой вариант этой задачи. Будем стараться сократить не количество букв, а количество слов во фразе, описывающей данное число. К пример, вместо "тысяча триста тридцать один" скажем "куб одиннадцати".

Как вы думаете, любое ли натуральное число можно будет описать фразой из менее десяти слов?

Трёхзначное число

Некоторое трёхначное число записали в обратном порядке, а затем вычли из большего меньшее. В результате оказалось, что разность состоит из тех же цифр, что и исходное число.

В десятичной системе счисления ответ на задачу единственен. А в какой системе счисления есть два трёхзначных числа, удовлетворяющих условию задачи?