Медиана больше среднего

Важными статистическими свойствами выборки (набора чисел) являются среднее значение и медиана. Они не тождественны. 

Среднее значение - это обычное среднее арифметическое, сумма всех чисел в наборе, разделённая на их количество. 

Медиана же определяется как число, которое не меньше, чем половина чисел из набора и не больше, чем другая половина чисел из набора. Найти медиану просто, если выписать все числа набора по возрастанию. Тогда медианой будет или среднее число (если чисел нечётное количество) или среднее арифметическое двух центральных чисел (при чётном общем количестве чисел).

Например, в выборке 1,2,3,5,20 среднее значение равно (1+2+3+5+20)/5 = 5.2, а медиана равна 3.

Теперь рассмотрим, к чему было такое вступление :)

Возьмём число, например 7, и рассмотрим, сколькими способами его можно представить в виде суммы натуральных чисел.

Для семёрки таких способов будет 15, вот они:

7 = 1+6 = 2+5 = 3+4 = 1+1+5 = 1+2+4 = 1+3+3 = 2+2+3 = 1+1+1+4 = 1+1+2+3 = 1+2+2+2 = 1+1+1+1+3 = 1+1+1+2+2 = 1+1+1+1+1+2 = 1+1+1+1+1+1+1

Подсчитаем для каждого набора чисел в разбиениях среднее и медиану

(7): среднее 7, медиана 7

(1, 6): среднее 3.5 медиана 3.5

(2, 5): среднее 3.5 медиана 3.5

(3, 4): среднее 3.5 медиана 3.5

(1, 1, 5): среднее 7/3 медиана 1

(1, 2, 4): среднее 7/3, медиана 2

(1, 3, 3): среднее 7/3, медиана 3

(2, 2, 3): среднее 7/3, медиана 2

(1, 1, 1, 4): среднее 1.75, медиана 1

(1, 1, 2, 3): среднее 1.75, медиана 1.5

(1, 2, 2, 2): среднее 1.75, медиана 2

(1, 1, 1, 1, 3): среднее 1.4, медиана 1

(1, 1, 1, 2, 2): среднее 1.4, медиана 1

(1, 1, 1, 1, 1, 2): среднее 7/6, медиана 1

(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1): среднее 1, медиана 1

Итак, мы видим, что среди 15 разбиений числа 7 на натуральные слагаемые, всего у двух наборов слагаемых медиана оказалась больше среднего значения. Это наборы (1, 3, 3) и (1, 2, 2, 2).

А теперь предлагаю любителям математики самостоятельно подсчитать, для скольких разбиений числа 37 на слагаемые выполняется то же свойство: медиана набора слагаемых будет больше их среднего арифметического.

Что писать в блоге, когда некогда искать интересный математический факт

Число 2017 появляется в десятичной записи числа пи на 8897-й позиции после запятой.

Всего эта группа цифр среди первых 200 миллионов знаков встречается 19921 раз. То есть её можно встретить с вероятностью примерно 0,0099%, что подтверждает гипотезу о нормальности числа пи.

Каждый желающий может поискать в числе пи свой номер телефона или пин-код на этом сайте: http://www.angio.net/pi/piquery

Закон Ципфа

Американский лингвист Джордж Ципф, анализируя частотное распределение слов в языках, установил следующую эмпирическую закономерность.

Оказывается, что если упорядочить слова по частоте использования, то наиболее часто встречающееся слово будет встречаться примерно вдвое чаще следующего по частоте. Втрое чаще третьего по частоте, вчетверо чаще четвёртого и т.д.

Вот, например, среди слов, употреблённых в 423 выпусках журнала TIME, чаще всего встретилось  слово "the" - 15861 раз, следущее за ним слово "of" - 7239 раз, слово "to" - 6331 раз и т.д.

Телефонный опрос

Перед президентскими выборами 1936 года в США журнал Literary Digest провёл опрос общественного мнения. Ранее все его опросы в 1920, 1924, 1928 и 1932 годах правильно предсказывали победителя.

На этот раз опрос проводился с небывалым размахом. Респонденты выбирались из списка подписчиков, телефонных книг, регистрационных баз автомобильных номеров. Всего опросили 10 миллионов человек, из ни 2,4 миллиона согласились ответить.

По итогам опроса выходило, что кандидат-республиканец Альф Лэндон с перевесом примерно 60 против 40 выиграет у демократа Франклина Делано Рузвельта. Однако, в реальности всё произошло наоборот и Рузвельт победил с рекордно большим отрывом (рекорд держится до сих пор).
Журнал вследствие этого лишился доверия и вскоре закрылся.

Почему же опрос дал сбой? Дело в том, что во времена великой депрессии позволить себе подписку на журнал, домашний телефон, и, тем более, автомобиль, могли только богатые. Они-то традиционно поддерживали республиканцев. Это как если бы интернет-опрос показал, что 100% россиян имеют выход в интернет.

В том же году Американский институт общественного мнения под руководством Джорджа Гэллопа провёл свой опрос всего на 50 тысячах респондентов, и тот правильно предсказал не только результаты выборов, но и результаты опроса журнала Literary Digest.

Этот случай считается началом современной эры исследования общественного мнения с помощью научных методов.