Период дроби 1/2017

Десятичная запись дроби 1/2017 имеет период длины 2016, т.е. 2017-1. Вообще, длина периода, равная n-1 - это наибольшее теоретически возможное значение для дроби 1/n.

Кто-то может сказать, что дробь 1/2017 даёт период длины 2016 из-за того, что оно простое. Однако, не для всех простых достигается максимальная возможная длина периода. Например, 1/3 = 0,(3) имеет период длины 1, а не 2.

Спасибо императору!

Если бы не император Август, то завтра уже пришлось бы идти в школу. Я каждый год собирался дать в конце августа эту заметку в блог. Сегодня зашёл уточнить некоторые моменты в Википедии и узнал, что за дополнительный летний день всё-таки стоит поблагодарить другого имератора.

Итак, распространённая легенда следующая. Император Октавиан Август, повелев назвать восьмой месяц года в свою честь, также добавил в него дополнительный день, чтобы тот сравнялся с июлем, названным в честь Гая Юлия Цезаря.

Однако, как свидетельствуют хроники, август длился 31 день даже когда назывался секстилий. А установил такую продолжительность последнего летнего месяца Гай Юлий Цезарь в ходе общей реформы календаря.

В дореформенном римском календаре в этом месяце было всего 29 дней, так что, если бы не Цезарь, то в школу/институт надо было бы идти уже сегодня!

Почему единица это ни простое, ни составное число

Определение простого числа гласит:
Простым называется натуральное число, которое имеет ровно два делителя: единицу и само себя.

Иногда в этом определении забывают о наличии двух разных делителей и рассуждают так:
Единица делится на 1? - да
Единица делится на себя? - да
Значит, 1 - число простое!

Однако, число 1 - уникально (с этого, кстати, начинается доказательство Мартина Гарднера того, что у всех чисел есть интересное свойство). Называть единицу простым ошибочно вот по чему.

Есть основная теорема арифметики. Согласно ей любое натуральное число представляется в виде произвдеения простых чисел единственным способом.На ней базируется множество последующих теорем теории чисел. Но если включить единицу во множество простых, основная теорема арифметики нарушится.

Ведь, например, 12 = 2²3¹ = 1¹2²3¹ = 1³2²3¹ = 1¹⁰2²3¹ = ...

Поэтому число 1 не относят ни к простым, ни к составным.

У кубика нет памяти

Факт, о котором забывают азартные игроки, ловя призрачную удачу за хвост - у механических генераторов случайных чисел (монета, кубик, волчок, лототрон, рулетка) нет памяти. Результаты, которые выдавались при предыдущих испытаниях, никак не влияют на исход следующего опыта. Разумеется, если само устройство "честное" и нет никаких утяжелений и перекосов.

Поэтому, если, например, пять предыдущих бросков кубика были 1, 5, 3, 4, 2, то нельзя надеяться, что шестой бросок даст шестёрку. Любая из последовательностей:
1, 5, 3, 4, 2, 1
1, 5, 3, 4, 2, 2
1, 5, 3, 4, 2, 3
1, 5, 3, 4, 2, 4
1, 5, 3, 4, 2, 5
1, 5, 3, 4, 2, 6
равновероятна.

В общем случае, если вероятность события равна , то после n бросков оно не наступит с вероятностью . Соответственно, шансы положительного исхода серии из n опытов составят 

С ростом n эта величина стремится к

Причём уже для кубика вероятность мало отличается от этой.

Чтобы получить исход с вероятностью более 99% надо, чтобы вероятность отрицательного исхода уменьшилась до 1%.

Решим неравенство




Значит, чтобы получить положительный исход с вероятностью 99% нужно провести 4,6n опытов!

Поэтому в ситуации с зарождением жизни для верности пробовать надо было не 200 000 000, а почти миллиард раз.

Но порой в азартных играх случаются почти невероятные события! Вот как однажды сыграли в кости шведский и норвежский короли

Сколько нужно попыток

В одной замечательной сказке Бормора о демиургах Шамбамбукли пытается создать жизнь по науке, из первичного бульона. Его друг Мазукта замечает, что шанс успеха эксперимента одна двухсотмиллионная, поэтому для получения результата нужно повторить всё двести миллионов раз.

Так рассуждаем часто и мы (например, если вероятность выпадения единицы на кубике одна шестая, то через шесть бросков она наверняка выпадет). На самом деле бросков понадобится намного больше, и сейчас я расскажу, почему.

Рассмотрим простейший случай - бросок монеты. Орёл в среднем выпадает при половине бросков. Но можем ли мы наверняка утверждать, что среди двух бросков наверняка будет орёл?

Конечно, нет. Два броска могут дать четыре разных исхода: ОО, ОР, РО, РР (два орла, орёл-решка, решка-орёл и решка-решка). Итого вероятность того, что орёл ни разу не выпадет при двух бросках равна 25%..

С вероятностью 25% стоит считаться. Сколько же бросков монеты следует сделать, чтобы вероятность абсолютного невыпадения орла сократилась хотя бы до пяти процентов?

Каждый следующий бросок может дать орёл с вероятностью 50%. Значит, шансы не получить ни одного орла при трёх бросках равны 12,5%, при четырёх - 6,25% и при пяти - 3,125%.

Таким образом, если бросить монету пять раз, орёл выпадет с вероятностью почти 97%. Чтобы эта вероятность превысила 99%, следует сделать ещё два броска. Действительно, ведь вероятность того, что все семь бросков монеты дадут в результате решки, равна 

Итак, чтобы почти наверняка (с вероятностью более 99%) получить орёл, монетку нужно бросить целых 7 раз!

Кстати, вот видео, как парень выбрасывает 10 орлов подряд (и разоблачение этого чисто математического фокуса).

Зачем понадобилось число i

Часто, когда рассказывают о комплексных числах, говорят, что они были введены в математику, чтобы любые квадратные уравнения имели решения. Однако на самом деле всё было интереснее.

Ведь и вправду, что с того, что уравнение x² + 1 = 0 не имеет корней в действительных числах?  Не имеет - так не имеет. А вот вводить новый математический объект, число i, являющееся квадратным корнем из минус единицы, понадобилось, чтобы решать кубические уравнения.

Как дискриминант для квадратных, для решения кубических уравнений используется формула Кардано. Для уравнений вида
x³ + px + q = 0

Один из корней получается по формуле


Однако, если рассмотреть уравнение
 x³ - x = 0, получим:

p = -1, q = 0


Без умения извлекать квадратные корни из отрицательный чисел, на этом этапе решение остановилось бы. Однако, легко видеть (не люблю эту фразу в решениях, но здесь и вправду легко :) ), что исходное уравнение имеет целых 3 действительных корня: -1, 0 и 1.

Если же ввести число  и доказать, что кубический корень из него равен -i:



То корень уравнения будет получен:


Интересно, что два других корня будут получены из той же самой формулы. Просто существуют ещё два разных числа, каждое из которых в кубе давать i. Это


Можете проверить, что каждое из них, будучи возведённым в куб, даст i. Использовав их на этапе извлечения кубического корня в нашем уравнении, получим оставшиеся два решения: x = 1 и x = -1

Впервые комплексные числа в математику ввёл Рафаэль Бомбелли, он также нашёл алгоритм разложения любого корня в цепную дробь.

Формула простого числа

Известно, что многочлен x²+1 не раскладывается на множители. Из этого часто делают неправильные вывод, что все числа вида n = x²+1 - простые.

Очевидный контрпример - любые нечётные x, большие единицы. Но и для чётных x, 5 = 2²+1, 17 = 4²+1, 37 = 6²+1 - простые, а вот 65 = 8²+1 - уже нет.