Математические часы: 4 - функция Эйлера

Для числа 4, как и для числа 2 на математических часах также используется формула, связанная с Эйлером.

$4 = \phi(10)$

4 - Функция Эйлера
Фунция Эйлера, обозначающаяся греческой буквой фи, для некоторого натурального числа n равна количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n (т.е. не имеющих с n других общих делителей, кроме единицы). При этом принимается, что $\phi(1) = 1$.

Для числа 10 есть 4 числа, меньших его, которые не имеют с числом 10 других общих делителей, кроме единицы. Это 1, 3, 7 и 9. Поэтому $\phi(10) = 4$

Интересным свойством функции $\phi(n)$ является её мультипликативность. $\phi(mn) = \phi(m)\phi(n)$

Для простых чисел $\phi(p) = p-1$, для составных $\phi(n) < n-1$. Оказывается, для любого числа r в интервале [0;1] можно подобрать такое n, чтобы приблизить это r с любо точностью дробью $\frac{\phi(n)}{n}$

Тетрация

Наверное, многие, как и я, задумывались на следующим вопросом.

Если число a прибавить само к себе b раз, то это действие можно заменить умножением a на b.

Если число a умножать само на себя b раз, то это будет возведение a в степень b:

А что дальше? Есть ли замена для башни степеней? Т.е выражения вида:

Так вот, оказывается, когда для нужд математических доказательств понадобились столь большие числа, был введён оператор тетрации. Сделал это Дональд Кнут в 1976 году. Он предложил степенную башню, состоящую из b чисел, каждое из которых равно a, записывать как

Например,

Две стрелки были выбраны потому, что в языке Алгол возведение в степень обозначалось одинарной стрелкой. И сейчас во многих математических программах для этого действия  используется птичка, представляющая собой острие стрелки: 3^2 = 9.

Аналогично тетрации Кнут ввёл и пентацию, и другие кратные стрелки, приводящие к ещё более быстрому росту. Причём в них, как и при вычислении башен степеней, действия производятся справа налево:

Софизм с неравенством

Сегодня проходил областной конкурс-защита работ в Малой академии наук. В секции математики ученица 11 класса Валерия Скорик показала придуманный ей интересный софизм, в котором доказывается, что единица больше корня из трёх.

Начнём с очевидного равенства:



Возьмём от обеих частей котангенс:



Теперь прологарифмируем по основанию 10:



Удвоив левую часть превратим равенство в неравенство:



Теперь внесём коэффициент под знак логарифма:



Так как логарифм взят по основанию, большему единицы, то, избавившись от него, знак неравенства сохранится:



Подставив значение функции, получим:

Функция Дейкстры

В блоге Republic of Math я нашёл статью об одной интересной целочисленной неотрицательной функции. Придумал её Эдсгер Дейкстра, обозначив fusc(n).

Значения функции вычисляются по следующему алгоритму:
fusc(0) = 0
fusc(1) = 1
fusc(2n) = fusc(n)
fusc(2n+1) = fusc(n) + fusc(n+1)

Вот как она себя ведёт:

Исследовав первую сотню значений функции:
0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, 6, 5, 9, 4, 11, 7, 10, 3, 11, 8, 13, 5, 12, 7, 9, 2, 9, 7, 12, 5, 13, 8, 11, 3, 10, 7, 11, 4, 9, 5, 6, 1, 7, 6, 11, 5, 14, 9, 13, 4, 15, 11, 18, 7, 17, 10, 13, 3, 14, 11, 19, 8, 21, 13, 18, 5, 17, 12, 19, 7, 16, 9, 11, 2, 11, 9, 16, 7
можно заметить, что fusc(n) чётное тогда и только тогда, когда n делится на 3. А как это доказать?

Праймориал

Перед Новым Годом на математических форумах вновь обретает популярность развлечение: составить из цифр 2, 0, 1 и 1 математическое выражение, значение которого равнялось бы равнялось бы некоторому наперёд заданному числу. Если в помощью четырёх знаков действий, возведения в степень и квадратного корня это оказывается сделать затруднительно, на помощь приходят более экзотические функции, например, праймориал.

Праймориал числа n - это произведение всех простых чисел, не превосходящих n. Обозначается он решёткой #. Например, праймориал 20-ти равен:
20# = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 = 9699690

Коммутативность

А почему у операции возведения в степень два обратных действия, а у сложения и умножения - лишь одно? Потому, что при сложении и умножении перестановка операндов не влияет на результат. Такие операции называюьтся коммутативными. Однако с возведением не так: в общем случае

Скажем, 3^2 = 9, а 2^3 = 8. Такая операция некоммутативна.

Некоммутативным также является умножение матриц, поэтому там выделяется умножение слева и умножение мправа.

Что такое логарифм

Для сложения обратным действием является вычитание (чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть изветсное). Для умножения - деление (чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный).

А для возведения в степень целых два действия будут обратными: извлечение корня и логарифмирование. Если нужно узнать, какое число возвели в известную степень, из результата нужно извлечь корень этой степени.
Решением уравнения x^a = b будет


Однако же, если неизвестно, в какую степень возводили известное число, следует привлечь логарифмирование. И решением уравнения a^x = b будет x = log_ab

Читается как "Логарифм b по основанию a."  И результатом этого выражения будет такая степень, в которую нужно возвести число a (основание), чтобы получить b.

Например, log₃9 = 2, т. к. чтобы получить 9, 3 надо возвести в квадрат.
А log₂16 = 4б т. к. 2⁴ = 14

Мантисса

Мантисса - это дробная часть числа. Операция взятия дробной части обозначается фигурными скобками.
{5}=0
{4,37}=0,37

По определению, дробная часть числа равна разности между числом и целой частью из него. {x}=x-[x]. Поскольку целая часть числа всегда меньше его самого, то дробная часть числа всегда положительна.

{-2,7}=0,3

Антье

Антье - это не французский математик :) Так называется целая часть числа, то есть наименьшее целое число, меньшее данного. Обозначается функция взятия целой части квадратными скобками.

[2]=2
[3,5]=3
[-5,2]=-6

Нечет + нечет = ... Нечет?

Да, оказывается, бывает и такое. Дело в том, что в математике нечётными могут быть не только числа, но и функции. Функция называется нечётной, если для любых допустимых значений переменной выполняется соотношение:
f(-x)=-f(x)

Таким образом, функция s(x), полученная как сумма двух нечётных функций f(x)+g(x) также будет нечётной:

s(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-s(x)

График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Нечётными функциями являются прямая и обратная пропорциональности,  кубическая парабола, синус, тангенс, котангенс и некоторые другие.

Математические методы

Мне очень нравится картинка из веб-комикса xkcd:

Изображаем функции

На dxdy.ru увидел забавную картинку:

Коммутативность

С первого класса мы учим, что "от перемены мест слагаемых сумма не меняется". По научному такое свойство операции сложения называется коммутативностью. a+b=b+a.

Коммутативно и умножение действительных (да и комплексных) чисел: axb=bxa. А вот операция возведения в степень - некоммутативна. К примеру, 3²=9, а 2³=8.

Логарифм

Человек воспринимает ощущения не пропорционально величине раздражителя, а пропорционально его логарифму. Так, например, субъективное различие между грузами в 1 кг и 2 кг будет таким же, как между 2 кг и 4 кг.

0=1

По формуле интегрирования частями

Применим её для вычисления интеграла

Подставим

Тогда

Таким образом,

И, вычтя из левой и правой части равенства по исходном интегралу, получим:

0=1

Почему же гиперболические?

Почему же функции sh, ch, th называются гиперболическими синусом, косинусом и тангенсом?
Вспомним, как определяются значения тригонометрических функций для произвольного t.

Если на единичной окружности, задаваемой уравнением x²+y²=1, отложить от оси ОХ против часовой стрелки угол t, то синусом его будет проекция соответствующей точки окружности на ось у, а косинусом - на ось х.

Заметим также, что угол t численно равен площади S вырезаемого им сектора окружности (примем, что при каждом переходе через полный круг, площадь всё увеличивается).

Гиперболические функции определяются аналогичным образом через гиперболу x²-y²=1 (как я рассказывал, гипербола - это не только график обратной пропорциональности)

Гиперболические синус и косинус будут проекциями точки пересечения луча, пущенного из начала координат с этой гиперболой на оси у и х, соответственно. Параметром t  соответствующих функций берётся удвоенная площады S, заключённая между лучом, гиперболой и осью ОХ (если луч откладывается в нижнюю полуплоскость, берётся знак минус).

Гиперболический тангенс

По аналогии c тригонометрическим, гиперболический тангенс - частное гиперболических синуса и косинуса.

График его имеет две горизонтальные асимптоты: y=1 в положительном направлении и  y=-1 - в отрицательном.

Благодаря тому, что вблизи нуля функция изменяется быстро, а вдали от него - всё медленнее, гиперболический тангенс, наряду с другими функциями с таким свойством, используется при моделировании нейронных сетей.

Гиперболический синус

Гиперболическим синусом называется функция


Разность квадратов гиперболических косинуса и синуса равна единице, так же как и сумма квадратов синуса и косинуса тригонометрических.