Полное имя первооткрывателя фракталов

Многие знают, что полное имя первооткрывателя фракталов, Бенуа Мандельброта - Бенуа Б. Мандельброт. Но немногие знают, что означает инициал Б. в его имени.

А означает он - Бенуа Б. Мандельброт :)

Трёхмерное множество Мандельброта

Вот какую удивительную структуру удалось получить Тому Лову в 2010 году, применив формулы преобразований для трёхмерного пространства, аналогичные тем, на основе которых строится озеро Мандельброта.

Фрактал

Длина кривой Коха

Рассмотрим построение кривой Коха. На очередном шаге каждый отрезок заменяется на 4-звенную ломаную:

Таким образом, с каждым шагом общая длина линии возрастает на треть, т.е. в  раза. Т.к. это число больше единицы, то получаемая геометрическая прогрессия с ростом числа шагом будет возрастать неограниченно.

Длина кривой Коха бесконечна.

Генерация фрактальных деревьев

Вот такие двух-и трёхмерные фрактальные деревья может создавать программа, представленная в блоге Fractal World. Там вообще можно найти множество интересных алгебраических и геометрических фракталов с алгоритмами построения.

Кленовый лист

Вот такой вот осенний IFS-фрактал, построенный во Fractal Explorer

Ещё фрактал

Ещё один вариант множества Жюлиа для формулы Z_n+1=Z_n³+С 

Кривая Коха

Давненько не было фракталов :)
Итак, Кривая Коха или Снежинка Коха строится так: В равностороннем треугольнике каждая сторона делится на три равные части, и на средних отрезках сторон строятся наружу равносторонние треугольники. Эту итерацию повторяют бесконечное число раз для каждого из отрезков ломаной, получившейся на предыдущем шаге.

На рисунке приведено несколько вспомогательных линий для иллюстрации способа построения.

Синус-косинус

Построение этого алгебраического фрактала происходит, основываясь на итерационном правиле

Z_n+1=sin(Z_n)*cos(С)

IFS-фрактал

Правило 1
x_n+1= 0.25x_n-0.13125y_n+0.325
y_n+1= 0.29375x_n+ 0.38125y_n -0.45625
p=0,33

Правило 2
x_n+1= 0.5x_n+  0.5y_n+0.50313
y_n+1= -0.5x_n+0.5y_n-0.50313
p=0,33

Правило 3
x_n+1= 0.5x_n+  0.5y_n+0.50313
y_n+1= -0.5x_n+0.5y_n+0.49688
p=0,34

Как всегда, по щелчку на картинке можно скачать изображение в полном размере.

Веточка

Вот такая красивая веточка получается, если при генерации IFS-фрактала задать два правила:

Правило 1
x_n+1= -0.65313x_n+0.14062y_n+0.2
y_n+1= 0.20625x_n+ 0.60625y_n-0.5875
p=0,5

Правило 2
x_n+1= 0.85x_n+  0.0875y_n+0.275
y_n+1= -0.2125x_n+0.8y_n+ 1.0625
p=0,5

Лист папоротника - IFS-фрактал

(можно скачать фрактал в размере 800x800)

IFS-фракталы строятся по следующему алгоритму:

Задаётся некоторое множество правил перехода текущей точки в следующую, у каждого правила - своя вероятность p его применения. Далее, начиная с точки (0;0), случайным образом выбирается правило и находится следующая точка, из неё получают следующую, и так далее.

Конкретно для этого рисунка набор правил был следующим:
Правило 1
x_n+1=0
y_n+1=0,16y_n
p=0,01

Правило 2
x_n+1=0,85x_n+0,04y_n
y_n+1=-0,04x_n+0,85y_n+1,6
p=0,85

Правило 3
x_n+1=0,2x_n-0,26y_n
y_n+1=0,23x_n+0,22y_n+1,6
p=0,07

Правило 4
x_n+1=-0,15x_n+0,28y_n
y_n+1=0,26x_n+0,24y_n+0,44
p=0,07

Этот, как и остальные представленные с блоге фракталы, построен с помощью программы Fractal Explorer

Жюлиа с кубом вместо квадрата

Это фрагмент множества Жюлиа, получающегося для итерационного процесса Z_n+1=Z_n³+С при С=0,66+0,5i

Щёлкнув по картинке, можно скачать её в полном размере.

Множество Жюлиа

Множество Жюлиа строится аналогично множеству Мандельброта, только величину C берут не с комплексной плоскости, а задаются ей вначале, для каждой же точки вычисляется число шагов, за которое последовательность итераций Z_n+1=Z_n²+С уйдёт из круга радиусом 2. 

Представленное здесь множество получается при C=0,31+0,47i .

При щелке на картинку, её можно скачать в разрешении 1024х768.

Неделя фракталов на Десяти буквах

Каждый день с 3 по 9 мая мы будем публиковать новую фрактальную картинку.

Та выглядит область Мандельброта в окрестности точки (0,2676553; 0,0040904):

Фрактал Мандельброта при увеличении

Вот как выглядит один из участков границы области Мандельброта:

Озеро Мандельброта

Первой фрактальной картинкой, которую опубликую в блоге, понятно, должно стать множество, описанное Бенуа Мандельбротом в 1975 году.

Строится оно так: берётся комплексная плоскость. Для каждой точки C её вычисляется, за сколько шагов последовательность итераций Z_n+1=Z_n²+С уйдёт из круга радиусом 2, если Z₀=0. В зависимости от количества шагов, необходимого на выхода из круга, точка закрашивается определённым цветом. Для чёрных же точек C, члены последовательности никогда не выйдут из круга. Если увеличить масштаб можно увидеть, какую сложную структуру имеет граница чёрной области.

Картинки сделаны с помощью программы Fractal Explorer.