Одним росчерком

Можно ли нарисовать некоторую фигуру, например, вот такой конверт, не отрывая карандаша от бумаги, и не проводя никакую линию дважды?

Чтобы ответить на этот вопрос, отметим все точки фигуры, в которых сходятся несколько линий. Если окажется, что все вершины чётные (т.е. в них сходится чётно число рёбер), то можно начать с любой точки и искомый способ найдётся.

Если нечётных точек ровно две (как здесь), то нужно начинать рисовать с одной из них, а закончить - в другой.

И если же нечётных точек больше - способа нарисовать фигуру не отрывая карандаша от бумаги не существует.

Чётность

Часто в задаче на доказательство используется чётность какого-либо параметра.
Классический пример: Существует ли группа из 11 человек, в которой у каждого есть трое знакомых?

Допустим, мы захотим изобразить людей точками, а знакомства - линиями,  соединяющими пары точек. Сколько всего линий будет проведено? Из каждой из 11 точек должно выйти по 3 линии, итого 33.

Но ведь при таком методе подсчёта каждая линия будет подсчитана дважды, значит, этот результат нужно разделить на 2. А 33 на 2 не делится. Следовательно, ситуация, описанная в условии, невозможна.

Здесь, кроме чётности, используются также методы теории графов.

I Wanna Win!

В блоге был перерыв с постами - это значит, что я форсированно довожу новую флеш-игру :) В ней вам предстоит выполнить 15 заданий как на смекалку, так и на ловкость.

Сейчас у меня в портфолио уже две выпущенные игры:
Sky Control 
и
5 Головоломок

Почти целое число

Из числа 163 рациональный корень не извлекается. А числа е и пи не просто иррациональные, а трансцендентные. А вот выражение, в которое входят эти числа:

Как видите, оно отличается от целого мене, чем на 10^-12

Формула Герона для четырёхугольника

Как рассказал наш читатель в комментарии к посту о целочисленном треугольнике, площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле:

Здесь a, b, c, d - стороны четырёхугольника, p - его полупериметр.

Оказывается, эта формула носит имя индийского математика Брахмагупты. Легко видеть, что формула Герона является её частным случаем при d = 0.

А многим окажется полезным справочник 16 формул вычисления площади треугольника, который находится в разделе "Школьная математика" блога "Эвольвента".

Треугольник 13, 14, 15

Площадь треугольника, зная его стороны, можно найти по формуле Герона.

<

Где a, b, c - стороны треугольника, а p - полупериметр.

Для данного треугольника p=21 и формула даст в результате

Таким образом, площадь его выражается целым числом.

Другой треугольник, стороны которого - последовательные натуральные числа, а площадь целая - это египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5 и площадью 6.

Существуют ли ещё треугольники с таким свойством?

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности выражается через стороны и площадь треугольника по формуле:

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами a, b, c и площадью S вычисляется по формуле:

Странные дроби

Существую 4 числа, каждое из которых в результате даст треть, если его уменьшить на половину.

Математические методы

Мне очень нравится картинка из веб-комикса xkcd:

Изображаем функции

На dxdy.ru увидел забавную картинку:

Площадь ромба

Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей. В этом легко убедиться, если разрезать ромб по диагоналям и сложить из них прямоугольный треугольник.

Эллипс

Эллипс - это круг, вписанный в квадрат со сторонами два и четыре.

Из ответов на экзамене

Как ни странно, это юмористическое определение имеет практическое применение. Во многих языках программирования для рисования эллипса необходимо задать параметры прямоугольника, описанного около него.

Первый турнир в пятую Цивилизацию!

На моём родном форуме, Civfanatics.ru, начинается первый турнир в Sid Meyer's Civilization V. Игроки смогут посоревноваться друг с другом на предмет того, кто за 120 ходов наберёт больший счёт, стартовав в одинаковых условиях.

Сроки турнира:
Первая отсечка (сделать 40 ходов) - 17 апреля 20:00 МСК, воскресенье
Вторая отсечка (80й ход) - 24 апреля 20:00 МСК, воскресенье
Финиш (120й ход) -  1 мая апреля 20:00 МСК, воскресенье

Игра в Цивилизацию развивает логическое мышление и навыки планирования.и расчёта. Приглашаются все жалающие!

Подробнее о турнире по Цивилизации 5.

Зачем придумали алгебру?

— А что еще такого они открыли?

— Ну… — Колон порылся в памяти. — Есть еще ал-гебра. Это вроде когда к цифрам еще буквы всякие пишутся. Для… для тех, кто цифры плохо понимает.

Из диалога капрала Шноббса и сержанта Колона,

"Патриот", Терри Пратчетт

Удваивать ли?

При написании заметки о медиане и биссектрисе я задумался, как вывести правила, помогающие запомнить правильное написание математических терминов, исходя из их определений. Вот, что получилось:


Параллельный. Параллельные прямые. Прямых две, значит, буква удваивается.

Параллелограмм. У параллелограмма две пары параллельных сторон. Значит, удвоение букв происходит в обоих сомнительных местах.

Асимптота. График никогда не совпадает со своей асимптотой. Значит, никакого удвоения в слове быть не должно.

Биссектриса. Биссектриса делит угол на два равных (первое "с" удваивается). В то же время, для данного угла можно построить единственную биссектрису (второе "с" не удваивается).

Анализ выдачи Гугла показывает, что слово "Биссектриса" правильно пишут примерно в 87% случаев, с двойным удвоением, как "Биссектрисса" - в 10% случаев, 2% написаний приходится на вариант вовсе без удвоений, "Бисектриса", и чуть менее 1% случаев - это двоение только второго "с", т.е. "Бисектрисса"

В слове "Асимптота" ошибочно удваивают букву "с" ("Ассимптота") 7% написавших.

Параллельность и параллелограмм проанализировать сложнее, т.к. в украинском языке правильные написания - без удвоений. Однако, если рассматривать только написания "Параллелограмм", "Параллелограм" и "Паралелограмм", то на правильный вариант приходится почти 92% упоминаний, а на ошибочные - 7% и 1% соответственно.

Биссектриса и медиана

Наверное, все слышали шутливое определение биссектрисы:

Биссектриса — это такая крыса, она бегает по углам и делит угол пополам.

Оказывается, есть аналогичное определение и у медианы:

Медиана — это обезьяна, она лазает по сторонам и делит их напополам.

Значения синуса табличных углов

//Сначала в этом посте я написал, как запомнить, чему равны синусы 30, 45 и 90 градусов, но после комментария от mkot понял, что описанный приём можно расширить и на углы 0 и 90.

Вспомнить значения синусов углов 0, 30, 45, 60 и 90 градусов поможет такой приём.
Пишем числа
0, 1, 2, 3, 4.

Далее извлекаем из каждого корень:


И, наконец, делим каждое из чисел на 2


В итоге мы получили табличные значения синуса для углов первой четверти.

Для косинуса, у которого всё наоборот, эти чиcла нужно расставить в обратном порядке.

Как запомнить определения тригонометрических функций

Синус и косинус острого угла определяются отношением катета и гипотенузы прямоугольного треугольника, содержащего этот угол. Вот только ученики часто путаются, какой из катетов должен входить в отношение.

Однако всё легко запоминается, если обратить внимание на чередование букв "и" и "о" в определениях:

Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Вычислены новые знаки числа пи

Профессору Джону Смиту из Массачусетского университета удалось найти ещё 5 триллионов знаков после запятой числа пи. Как оказалось, все цифры, идущие после 6 951 321 458 952-го знака - нули и единицы. При интерпретации их как текста в кодировке Unicode был получен следующий текст:

"Чтение этого послания - свидетельство того, что ваша цивилизация вышла на уровень, достаточный для контакта. Рандеву состоится в точке пересечения продолжения оси вращения планеты и галактического экватора. Необходимым условием контакта является выплата штрафа за нелицензированное использование константы пи в математических и иных расчётах с момента её открытия до настоящего момента."

Что же на это ответит NASA?