13532385396179 - число Конуэя

Джон Конуэй, создатель игры "Жизнь" однажды заинтересовался следующим числовым процессом. Берём натуральное число, например, 18. Запишем его разложение на простые множители: 18 = 2x3². При этом основания простях множителей выстраиваем в порядке возрастания, показатели степени, равные единице, не пишет.

Теперь из всех цифр факторизации, не меняя их порядка, формируем новое число. Т.е из 2x3² получаем 2³x29.

Теперь раскладываем 2329, получаем 17x137

Следюущее число в этой последовательности, 17137 - простое, то есть переходит само в себя.

Конуэй предположил, что перезодить сами в себя будут только простые числа. Однако недавно Джеймсом Девисом бл найден контрпример:
13532385396179 = 13x53²x3853x96179

Вы спросите: если это число нашёл Девис, почему же я написал, что это число Конуэя? А чтобы выполнялся закон Стиглера: "Никакое научное открытие не было названо в честь первооткрывателя".

Этот закон был сформулирован профессором статичтики Стивеном Стиглером в 1980 году. Закон Стиглера применим и к самому себе,т.к. первооткрывателем закона, по мнению Стиглера, был Роберт Мертон.

Разбиение куба на параллелепипеды

Куб объёмом 7³ можно разразать на 11 различных параллелепипедов, объёмами от 5² до 6². Вот так выглядит такое разбиение:

Его опубликовал в фб любитель занимательной математики Ed Pegg.

Треугольное и шестиугольное число 2016

Число 2016 вляется треугольным и шестиугольным.
2016 монет можно разложить в виде равностороннего треугольника со стороной 63 и в виде шестиугольника со стороной 32.

2016 является также 24-угольным числом, ему соответстсвует 24-угольник со стороной 14.

Математические часы

В интернете часто попадаются часы с циферблатом, на котором вместо чисел от 1 до 12 написаны формулы. Я решил себе сделать что-то подобное, но чуть более оригинальное. К примеру, на каждом втором образце в сети шестёрка обозначается как 3!, хотя факториалу, как увидите у меня, можно найти более интересное применение.

Вот, что получилось:

Обратите внимание на число 12 :)

В нескольких последующих публикациях в блоге разберём содержимое этого циферблата.

Кто построит магический куб из простых чисел?

Наталия Макарова, ведущий исследователь магических квадратов в рунете, расширила сферу своих научных интересов на магические кубы и тессеракты (4-мерные кубы). На Научном форуме с 9 апреля по 9 июня она проводит конкурс по программированию. Приглашаются все желающие попробовать свои силы и получить результат, ранее неизвестный науке!

Участникам предлагается:
1. Построить из различных простых чисел магический куб порядка 4, 5, 6 или 7
2.  Построить из различных простых чисел ассоциативный магический куб порядка 4, 5, 6 или 7

По существу это 8 отдельных задач. Решения каждой из них будут оцениваться, исходя из магической константы получившихся кубов. Чем меньше константа - тем лучше. Учреждён приз участнику, который займёт первое место, 100 долларов США.

Полные правила конкурса - в теме http://dxdy.ru/topic83021.html на Научном форуме. Решения отправляйте Наталии на почту natalimak1@yandex.ru или в личное сообщение на форуме dxdy.

Внимание! Коллега Наталии, итальянский программист Stephano Tognon,. разработал сайт для конкурса. Здесь можно регистрироваться и через него отправлять свои решения: http://primesmagicgames.altervista.org/wp/

Магический куб является 3-мерным эквивалентом магического квадрата. Это набор целых чисел, размещённых в кубе n x n x n таким образом, что сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце, в каждой колонне и в четырех пространственных диагоналях куба равна одному и тому же числу, называемому магической константой куба S.

Вот классический магический куб порядка n = 3 (здесь используются все натуральные числа от 1 до 27)

Слой 1:

18	23	1
22	3	17
2	16	24

Слой 2:

20	7	15
9	14	19
13	21	8

Слой 3:

4	12	26
11	25	6
27	5	10

Константа его S = 42

А вот ещё один (из Википедии), с такой же константой:

Магический куб называется ассоциативным (центрально-симметричным), если сумма любых двух элементов, симметрично расположенных относительно центра куба, равна одному и тому же числу, называемому константой ассоциативности куба. 

Интересные факты о математике

А знаете ли вы, что...

• Бросая иголку на паркетный пол, можно вычислить число пи;
• На реальной политической карте мира нарушается теорема о четырёх красках;
• Не существует универсального алгоритма, определяющего, зациклится ли некоторый данный алгоритм или нет;
• Соломинка и бублик с точки зрения одного из разделов математики - одно и то же;
• Плоскость можно полностью замостить квадратами со сторонами 1, 2, 3, 4, 5 и т.д., взяв каждый ровно по одному разу;
• Можно туристу дать такую последовательность инструкций, которая приведёт его в нужную точку, где бы он изначально не находился;
• Существует арифметическая прогрессия любой наперёд заданной длины, все члены которой - простые числа;
• Существует даже функция от натурального аргумента, все значения которой - простые числа;
• Со времени присуждения премии института Клэя Григорию Перельману, новых публикаций в этом разделе сайта не появлялось;
• Кроме $2^3$ и $3^2$ не существует больше последовательных натуральных чисел, являющих степенями;

Обычно первого апреля я в блоге публикую софизмы или разные математические розыгрыши, но в этот раз все утверждения в списке - правда. Для некоторых из них стоит подумать, как такое возможно. Так что жду комментариев!

Антимагические квадраты Стенли

Магические квадраты - такой же непременный атрибут занимательной математики, как и игры с цифрами, задачи на разрезание или числовые фокусы. А вот Наталия Макарова, пополнившая Интернет-энциклопедию целочисленных последовательностей немалым числом своих находок, рассказала мне, что сущеcтвуют также квадраты антимагические.

Строго говоря, есть несколько определений того, какой квадрат считать антимагическим. Вот антимагический квадрат Стенли - это такой квадрат размера nxn, в котором равны не суммы по всем горизонталям и вертикалям, а, наоборот, суммы любых n элементов, никакие 2 из которых не лежат в одной строке или одном столбце.

Пример:

3	44	17
5	13	19
23	31	37

В нём:
3+13+37 = 3+19+31 = 44+19+23 = 44+5+37 = 17+13+23 = 17+5+23 = 53

В квадрате со стороной n таким сумм будет ровно n! Нелегко же, наверное, все их уравнять! Однако Наталии с коллегами удаётся не только находить такие квадраты, а и составлять их только из простых чисел и доказывать минимальность полученных сумм.

2013 из семи цифр

Наш читатель Семёныч нашёл два примера, связывающих первые 7 цифр с номером нового года:

123 + 45 * 6 * 7 = 2013

1 + 2 * (3 + 4⁵) - 6 * 7 = 2013

2013 из троек

Красивое выражение, дающее в результате номер следующего года, нашёл Семёныч, ведущий раздела "Кладовая числовых диковинок" на Назве.

333 + 3 + 333 + 3 + 333 + 3 + 333 + 3 + 333 + 3 + 333 = 2013

Простые квадраты

Мой хороший друг Наталия Макарова участвует в новом программистско-математическом конкурсе и приглашает присоединиться всех желающих.

Суть задачи в следующем. Рассмотрим квадрат NxN, заполненный натуральными числами от 1 до N². Подсчитаем суммы чисел в N строках, N столбцах, N ломанных диагоналях, наклонённых вправо и N ломанных диагоналях с наклоном влево.

Вот как выглядят ломанные диагонали:

Необходимо расставить числа в квадрате так, чтобы из этих 4N сумм ровно 2N оказались простыми числами. И при этом сумма всех простых сумм оказалась бы или наибольшей или наименьшей возможной.

Возьмём для примера вот такую нумерацию квадрата 3 на 3:

Как видим, среди двенадцати сумм простыми являются ровно 6: 17, 13, 17, 19, 7, 19. Сумма этух простых сумм равна 17 + 13 + 17 + 19 + 7 + 19 = 92

Сможет ли кто-то переставить числа в ячейках так, чтобыпростых сумм по-прежнему оставалось шесть, а их сумма увеличилась бы или уменьшилась?

Поправка:
Наталия уточнила, что количество простых сумм может и превосходитьл 2N, а вот различных простых среди них должно строго равняться 2N. Так что мой вариант нумерации квадрата в конкурсе не прошёл бы. Тем не менее, вопрос остаётся открытым - кто сможет назнумеровать квадрат 3х3 числами от 1 до 9 так, чтобы среди 4N сумм по вертикалям, горизонталям и ломанных диагоналям нашлось ровно 2N разных простых чисел?

Обсуждение конкурса идёт на русском математическом форуме.

Официальный сайт конкурса.

Все цифры

Интересный пример на сложение, в котором используются по разу все десять цифр, нашёл на школьной математической олимпиаде ученик 6 класса Дмитрий Старченко

5 + 87 + 934 = 1026

Без одинаковых углов

О текущем математически-программистском конкурсе мне рассказала Наталия Макарова. На нём предлагается интересная задача, которую можно с удовольствием порешать и на клетчатой бумаге, но которая для больших чисел требует незаурядных умений в составлении эффективных переборных алгоритмов.

В общем случае, требуется раскрасить квадратную сетку NxN в С цветов так, чтобы ни у одного прямоугольника с вершинами в ячейках сетки и сторонами, параллельным её линиям, не оказалось четырёх одноцветных углов. Участники конкурса для данного С ищут максимально возможные N и соответствующие раскраски.

Например, самым большим квадратом, который можно раскрасить в два цвета требуемым образом, будет квадрат 4 на 4:



Для трёх цветов наибольшим квадратом будет 10x10 (автор Tom Sirgedas).

Но уже для пяти цветов появляется открытая проблема. Известно решение для квадрата 25 на 25. Известно, что нет решения для квадрата 28 на 28. А вот для промежуточных значений - ведётся поиск. Если раскраска пятью красками квадрата со стороной 27 существует, один из цветов должен располагаться так:

Может быть, у вас получится найти расположение остальных?

Кроме всеобщего признания, участие в конкурсе приносит и эстетическое наслаждение. Взгляните только, какой изумительный ковёр получила Наталия для 11 цветов и N = 121

Страница конкурса
Обсуждение конкурса на русскоязычном математическом форуме

Восстановите шедевры живописи

Сегодня в большой интернет я выпустил свою новую игру, Save the Paintings. В ней вам нужно спасти всемирно известные картины, которые внезапно исчезли.

Умение рисовать не нужно - главное правильно расположить элементы.

Игра есть здесь и здесь. На обоих порталах проходит конкурс и, если игра понравится, можно поддержать её своими голосами.

Маршруты шахматного коня

Известна задача об обходе всех полей доски n x m шахматным конём. У неё есть интересная вариация: эту доску нужно обойти конём, сделав максимально возможное число шагов так, чтобы маршрут не содержал пересекающихся участков.

Эту задачу успешно решают для всё больших и больших значений n и m мои коллеги Наталия Макарова (также исследовательница магических квадратов) и Алексей Чернов. Результаты представлены в базе данных. Вот, например, один из двух вариантов замкнутого пути по обычной шахматной доске 8 на 8:

Кроме коня там также есть база данных путей фантастических фигур: жирафа (ходит на 3 клетки в одном направлении и 1 в другом), зебры (3 и 2 клетки, соответственно) и антилопы (4, 3). Все, желающие принять участие в исследованиях, могут пополнять эту базу своими результатами.

Кольца Борромео

Кольца Борромео - это интересная конструкция, состоящая из трёх колец, никакие два из которых не зацеплены. В то же время не разрывая какое-либо из колец, остальные не отделить.

Происходит её название от фамилии итальянского семейства Борромео.

Хроматическое число плоскости

Если каждую точку плоскости раскрасить в один из двух цветов, то обязательно найдётся отрезок длины 1, оба конца которого имеют одинаковый цвет. Для доказательства этого достаточно рассмотреть единичную окружность. Если хотя бы одна точка на ней будет совпадать по цвету с центром, то таким отрезком будет её радиус. Если же нет - то концы искомого отрезка будут лежать на самой окружности.

Даже если раскрасить плоскость в 3 цвета, единичный отрезок с одноцветными концами найдётся.

А вот для 4, 5 и 6 цветов - неизвестно, найдётся ли такой отрезок или есть раскраска, делающая его существование невозможным.

Оригами

Параболу можно получить и складывая лист бумаги. Для этого сначала поставим на листе точку. Затем будем сгибать его так, чтобы край листа проходил через эту точку. Сделав несколько таких сгибом увидим, что огибающая их будет являться параболой.

Фантастика Гарднера

Про проблемы топологии есть два очень интересных фантастических рассказа Мартина Гарднера:

Нульсторонний профессор - об открытии поверхности вообще не имеющей сторон и
Остров пяти красок - об острове, на котором живёт 5 племён, причём каждые 2 племени имеют общую границу (более того - каждое племя имеет выход к морю).

Рекомендую :)

4 краски

Любую географическую карту можно раскрасить 4мя разными красками так, чтобы граничащие области были раскрашены в разные цвета.

Разрезание листа Мёбиуса

Собрался, наконец, сделать разбор файлов у себя на винчестере. И вот в папке Рассортировать/Для сортировки/Несортированное нашёл видео, с которым участвовал в конкурсе на сайте SmartVideos.ru.

Здесь показывается, как изготовить поверхность, у которой будет только одна сторона, и что случится, если её разрезать.