Спасибо императору!

Если бы не император Август, то завтра уже пришлось бы идти в школу. Я каждый год собирался дать в конце августа эту заметку в блог. Сегодня зашёл уточнить некоторые моменты в Википедии и узнал, что за дополнительный летний день всё-таки стоит поблагодарить другого имератора.

Итак, распространённая легенда следующая. Император Октавиан Август, повелев назвать восьмой месяц года в свою честь, также добавил в него дополнительный день, чтобы тот сравнялся с июлем, названным в честь Гая Юлия Цезаря.

Однако, как свидетельствуют хроники, август длился 31 день даже когда назывался секстилий. А установил такую продолжительность последнего летнего месяца Гай Юлий Цезарь в ходе общей реформы календаря.

В дореформенном римском календаре в этом месяце было всего 29 дней, так что, если бы не Цезарь, то в школу/институт надо было бы идти уже сегодня!

Суперлуние и математика

Вот все пишут про суперлуние, а никто и не обратил внимание, что Луна сейчас находится ровно за тридевять Земель!

Если от поверхности Земли отложить 27 земных диаметров, то попадём на поверхность Луны!

Всем желающим предлагаю найти соответствующие параметры самостоятельно и определить, сильно ли я подогнал действительный результат под желаемый.

Как тремя двойками выразить любое целое число

Среди математических развлечений особое место занимает поиск способа получить некоторое число из заданного набора цифр. Например, эта задача легла в основу нашей математической игры с числом пи.

Часто в таких задачах ставится ограничение на используемые функции и операции. Ведь всего тремя двойками можно записать любое целое число!

Делается это так. Выражение $\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{2}}}$, где квадратный корень вложен n раз, равно $2^\frac{1}{2^n}$.

Если взять от него логарифм по основанию 2, получим:

$\log_2\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{2}}}=\log_2\left(2^\frac{1}{2^n}\right)=\frac{1}{2^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^n=2^{-n}$

Возьмём двоичный логарифм ещё раз:
$\log_2 2^{-n}=-n$

Так мы получим любое целое отрицательное число. А обратив знак - любое натуральное.

$n=-\log_2\log_2\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{2}}}$, где корень берётся n раз.

Головоломка - путешествие по числовой сетке.

Эд Пегг опубликовал новую головоломку.

Начните с клетки с числом 44. Переместитесь из неё ходом ферзя (на любое число клеток по вертикали, горизонтали или диагонали), в клетку, число в которой отличается от предыдущего на 1.

Из новой клетки перейдите ходом ферзя в клетку, число в которой отличается от предыдущего на 2.

Затем перейдите к числу, отличающемуся на 3.

И так далее, всего в этой сетке нужно сделать 36 ходов.

Что такое x и y

Иксы и игреки - это костыли для мозга.

Не помню, кто сказал, но сказано хорошо. Вот поэтому в разборе задач Кенгуру мы описываем, как решать задачи с помощью рассуждений, по вопросам.

Объём додекаэдра

Как-то я публиковал ссылку на оригинальный календарь в форме додекаэдра. Очень хорошая форма для календаря: 12 граней на 12 месяцев.

Я сегодня узнал, что объём додекаэдра с ребром а вычисляется по очень красивой формуле.

$V=a^3\frac{(15+7\sqrt5)}{4}\,$

Новое открытие в математике

Часто провозглашается мысль о том, что в математике на любительском уровне всё открыто, и чтобы принести что-то новое надо лезть в джунгли дифференциального исчисления, комплексного анализа и топологии. Однако, как показала недавняя новость, это не так.

Давно известно, что существует только три правильных многоугольника, которыми можно покрыть плоскость без зазоров и нахлёстов. Это правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник.

Правильными пятиугольниками замостить плоскость нельзя. Однако известно 14 видов пятиугольной плитки, которыми это сделать можно. 14-й вид был найден в 1985 году.

И вот недавно открыт новый пятиугольник, которым можно покрыть плоскость. Вот соотношения его углов и сторон.

Покрывает плоскость от новольно хитрым узором. Серым цветом в виде латинской буквы N выделен повторяющийся блок из 12 таких пятиугольников.

Разумеется, найден он был не любителем с карандашом и бумагой, а доктором с помощью разработанной им компьютерной программы. Однако всё же этот случай показывает, что в математике остаются задачи, поставнока и решение которые понятны не только специалисту, но и просто человеку, увлечённому этой наукой.

И практическое применение может найтись у этой задачи. Например, возможно, что такая облицовка плиткой будет в чём-то эффективнее. А может быть, существует или может быть создано вещество с такой кристаллической решёткой, и у него окажутся какие-то интеерсные свойства. Главное, что математика даёт другим наукам новые направления и инструменты для исследования.

Ещё о правильно-неправильном сокращении дробей

Если сокращать дроби, зачёркивая одинаковые цифры, иногда можно получить правильный результат. Нашими читателями было найдено больше дробей с такими свойствами.

Оказывается все дроби с трёхзначными числителями и знаменателями, которые полностью сократятся при вычёркивании одинаковых цифр, есть в работе Boas, 1979 года.

Например: $\frac{124}{217} = \frac{4}{7}$, $\frac{316}{632} = \frac{1}{2}$. За полным списокм можете заглянуть по ссылке, а можете поискать самостоятельно.

А для программистов также будет интересно, что в 16-ричной системе подобных дробей с двузначными числителями и знаменателями целых 7, а не 4, как десятеричной.

Внимание. Ведущий блога не несёт ответственности, в случае, если читатели на контрольной по математике начнут сокращать так любые дроби. Например, $\frac{13}{39}$ не будет равняться $\frac{1}{9}$

Самоописывающий твит

В этом твите 140 символов. Среди них: 16 цифр, 89 букв (33 гласные и 56 согласных), 8 знаков и 27 пробелов. Сумма же всех цифр тут равна 90.

— Alexey Izvalov (@GameGems) August 3, 2015

Разбиение числа 24 на слагаемые

Число 24 можно разбить в сумму так, что сумма обратных величин этих слагаемых будет равна единице.

24 = 2+4+6+12

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12} = 1$

На math.hashcode.ru сейчас доказывают, что это верно и для любых натуральных чисел, превосходящих 24. Хотите присоединиться?

Почему римляне не развили алгебру

Алгебра у древних римлян не вызывала особого интереса. Они без всяких вычислений знали, что Х = 10.

Нашёл на hijos.ru

Блог о занимательной математике достиг уже таких масштабов, что можно переходить к моей давней задумке - давать к каждому посту пару ссылок на связанные темы (как в передаче Connections на Дискавери).

Вот:
Для кого нужна алгебра по мнению сержанта Колона.
Откруда появилось римское обозначение десятки.

Почему единица это ни простое, ни составное число

Определение простого числа гласит:
Простым называется натуральное число, которое имеет ровно два делителя: единицу и само себя.

Иногда в этом определении забывают о наличии двух разных делителей и рассуждают так:
Единица делится на 1? - да
Единица делится на себя? - да
Значит, 1 - число простое!

Однако, число 1 - уникально (с этого, кстати, начинается доказательство Мартина Гарднера того, что у всех чисел есть интересное свойство). Называть единицу простым ошибочно вот по чему.

Есть основная теорема арифметики. Согласно ей любое натуральное число представляется в виде произвдеения простых чисел единственным способом.На ней базируется множество последующих теорем теории чисел. Но если включить единицу во множество простых, основная теорема арифметики нарушится.

Ведь, например, 12 = 2²3¹ = 1¹2²3¹ = 1³2²3¹ = 1¹⁰2²3¹ = ...

Поэтому число 1 не относят ни к простым, ни к составным.