Пентапенни

Про пентамино знают многие. Это многоугольники, состоящие из пяти единичных квадратов, склеенных по сторонам.

А пентапенни - это конфигурации из пяти одинаковых монет, касающихся друг друга некоторым образом. Пентапенни считаются разными, если их ельзя перевести одна в другую добавлением или разрывом точек касания двух монет.

Всего существует 13 различных пентапенни, пишет Alexandre Muñiz вгруппе Puzzle Fun

Мелодия числа пи

В этом видео, наверное, самый правильный подход к представлению того, как может звучать число пи. Чтобы поставить в соответстсвие бесконечной последовталеьности цифр числа пи бесконечную последовательность звуков, применили следующий приём.

В западной музыкальной традиции в октаве 12 полутонов (если считать и белые и чёрные клавиши на фортепиано). Поэтому для начала представим чсило пи в двенадцатеричной системе счисления. Выглядеть оно будет вот так:

3.184809493B918664573A...

В двенадцатеричной системе используются цифры 0123456789AB, а цифры после запятой показывают не десятые, сотые, тысячные, а двенадцатые, сто сорок четвёртые, тысяча семьсот двадцать восьмые и т.д.

В следующем видео показано, как будет звучать эта последовательность нот.

Для благозвучия исполнитель дал нотам разную длительность, а также вместо отдельных нот стал играть аккордами, но мелодия от этого только выиграла. Любителю математики её можно поставить на телефон :)

С днём числа пи вас!

Global Game Jam Ukraine

Взяв со старта темп по 1 посту в день, я его честно выдерживал 18 дней. Превал эту серию Global Game Jam Ukraine :) Ещё 19го числа я вспомнил, что блог остался без ежедневного поста уже заполночь, т.е. по факту, 20го. А 20го было открытие и начало работы.

Тема этого джема очень математическая - волны! (Так так тема формулируется на английском языке, то слово waves можно понимать и как "машет").

Я сразу вспомнил свой клеточный автомат 7-летней давности:


Может быть, тоже успею что-то сделать на его основе.

А вот тут можно посмотреть в прямом эфире, как идёт джем:
Watch live video from ggjua on www.twitch.tv
Самое интересное, презентации проектов, начнутся в воскресенье с середины дня.

Центрированное треугольное число

О треугольных, квадратных и прочих фигурных числах знают многие любители занимательной математики.

Но треугольники из монет, оказывается, можно формировать двумя способами. Первый, классический, был предаствлен ещё Пифагором, он описан в посте о треугольных и тетраэдрических числах. А вот второй.

Берём монету. Раскладываем вокруг неё три монеты. Вокруг образовавшегося треугольника раскладываем 6 монет. В следующем слое будет уже 9 монет, и так далее.



Таким образом формируется последовательность: 1, 4, 10, 19, 31...

По способу построения можно увидеть, что центрированное треугольное число равно утроенному обычному треугольному числу меньшего порядка, увеличенному на единицу.



Интересно, что число 10 является одновременно и треугольным, и центрированным треугольным, и тетраэдрическим числом. Найдутся ли ещё числа с таким свойством? Или, хотя бы, принадлежащие двум из этих трёх групп?

Треугольник и тетраэдр

Треугольные числа - это числа, равные суммам последовательных натуральных чисел:
1, 3 = 1+2, 6 = 1+2+3, 10 = 1+2+3+4, 15 = 1+2+3+4+5 и т.д.

Треугольными их стал называть ещё Пифагор. Действительно, если сначала положить на стол 1 монету, затем к ней приложить 2 монеты, получится треугольник. Затем его можно увеличивать, прикладывая ряды в 3, 4, 5 и т.д. монет.

Тетраэдрические числа образуются, если выйти в пространство. Берём один шар. Кладём его на треугольник, образованный тремя шарами. Полученный тетраэдр наращиваем ещё одним слоем из шести шаров, затем - из 10-ти и т.д.

Количества шаров в получающихся тетраэдрах будет равно:
1, 4 = 1+3, 10 = 1+3+6, 20 = 1+3+6+10, 35 = 1+3+6+10+15 и т.д.

Таки образом, тетраэдрические числа - это суммы последовательных треугольных чисел, начиная с единицы.

Число 10 является наименьшим (помимо, очевидно, единицы) числом, которое является одновременно и треугольным, и тетраэдрическим.

Новое открытие в математике

Часто провозглашается мысль о том, что в математике на любительском уровне всё открыто, и чтобы принести что-то новое надо лезть в джунгли дифференциального исчисления, комплексного анализа и топологии. Однако, как показала недавняя новость, это не так.

Давно известно, что существует только три правильных многоугольника, которыми можно покрыть плоскость без зазоров и нахлёстов. Это правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник.

Правильными пятиугольниками замостить плоскость нельзя. Однако известно 14 видов пятиугольной плитки, которыми это сделать можно. 14-й вид был найден в 1985 году.

И вот недавно открыт новый пятиугольник, которым можно покрыть плоскость. Вот соотношения его углов и сторон.

Покрывает плоскость от новольно хитрым узором. Серым цветом в виде латинской буквы N выделен повторяющийся блок из 12 таких пятиугольников.

Разумеется, найден он был не любителем с карандашом и бумагой, а доктором с помощью разработанной им компьютерной программы. Однако всё же этот случай показывает, что в математике остаются задачи, поставнока и решение которые понятны не только специалисту, но и просто человеку, увлечённому этой наукой.

И практическое применение может найтись у этой задачи. Например, возможно, что такая облицовка плиткой будет в чём-то эффективнее. А может быть, существует или может быть создано вещество с такой кристаллической решёткой, и у него окажутся какие-то интеерсные свойства. Главное, что математика даёт другим наукам новые направления и инструменты для исследования.

2014 из собственных цифр

Семёныч пополнил Кладовую числовых диковинок удивительными равенствами, в готорых номер наступающего года получается из цифр 2, 0, 1 и 4 в этом порядке:

2014=20×14×(2+0+1+4)+(20+14)×2-(0+14)
2014=(201+4)×2-0-1×4+201×4+201×4
2014=201×4-201×4/2×0!×1+4+201×4+201×4

Без одинаковых углов

О текущем математически-программистском конкурсе мне рассказала Наталия Макарова. На нём предлагается интересная задача, которую можно с удовольствием порешать и на клетчатой бумаге, но которая для больших чисел требует незаурядных умений в составлении эффективных переборных алгоритмов.

В общем случае, требуется раскрасить квадратную сетку NxN в С цветов так, чтобы ни у одного прямоугольника с вершинами в ячейках сетки и сторонами, параллельным её линиям, не оказалось четырёх одноцветных углов. Участники конкурса для данного С ищут максимально возможные N и соответствующие раскраски.

Например, самым большим квадратом, который можно раскрасить в два цвета требуемым образом, будет квадрат 4 на 4:



Для трёх цветов наибольшим квадратом будет 10x10 (автор Tom Sirgedas).

Но уже для пяти цветов появляется открытая проблема. Известно решение для квадрата 25 на 25. Известно, что нет решения для квадрата 28 на 28. А вот для промежуточных значений - ведётся поиск. Если раскраска пятью красками квадрата со стороной 27 существует, один из цветов должен располагаться так:

Может быть, у вас получится найти расположение остальных?

Кроме всеобщего признания, участие в конкурсе приносит и эстетическое наслаждение. Взгляните только, какой изумительный ковёр получила Наталия для 11 цветов и N = 121

Страница конкурса
Обсуждение конкурса на русскоязычном математическом форуме

Ещё способ

Ещё один простой способ генерации кода Грея связан со следующим процессом:

Начинаем с буквы А. Далее поступаем по следующем правилу: приписываем справа следующую букву, а после неё - повторяем все ранее записанные символы. После первого шага получим строку
АВА
После второго: АВАСАВА
После третьего:
АВАСАВАDАВАСАВА

Теперь возьмём двоичное число 0000 и обозначим его цифры как DCBA. Пробежимся по строке и будем менять на противоположную ту цифру, которая соответствует текущему символу в строке:
А: 0001
В: 0011
А: 0010
С: 0110
А: 0111
В: 0101
А: 0100
D: 1100
А: 1101
В: 1111
А: 1110
С: 1010
А: 1011
В: 1001
А: 1000

Как отметил наш читатель Вадим, есть ещё один рекурсивный способ: сначала получаем код Грея длины 3, записываем его сначала в прямом порядке, а потом в обратном. И дописываем перед первой половиной 0, а перед второй — 1.

Трёхмерное множество Мандельброта

Вот какую удивительную структуру удалось получить Тому Лову в 2010 году, применив формулы преобразований для трёхмерного пространства, аналогичные тем, на основе которых строится озеро Мандельброта.

Давно не было числовых пирамид ;)

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

Что будет, если...

записать а клетчатом листе все натуральные числа в виде развёртывающейся спирали и отметить простые среди них? Однажды об этом задумался на скучном собрании математик Станислав Улам, и у него получилась картинка, подобная этой.



Единица, являющаяся ни простым, ни составным числом, обозначена белым квадратом, простые числа - красные, составные - зелёные.

Как оказалось, на этой диаграмме многие простые числа стремятся выстроиться в линии, пусть и частично разорванные.

Пирамида квадратов

49=7²

4489=67²

444889=667²

44448889=6667²

4444488889=66667²

444444888889=666667²

так можно продолжать бесконечно

Синус-косинус

Построение этого алгебраического фрактала происходит, основываясь на итерационном правиле

Z_n+1=sin(Z_n)*cos(С)

IFS-фрактал

Правило 1
x_n+1= 0.25x_n-0.13125y_n+0.325
y_n+1= 0.29375x_n+ 0.38125y_n -0.45625
p=0,33

Правило 2
x_n+1= 0.5x_n+  0.5y_n+0.50313
y_n+1= -0.5x_n+0.5y_n-0.50313
p=0,33

Правило 3
x_n+1= 0.5x_n+  0.5y_n+0.50313
y_n+1= -0.5x_n+0.5y_n+0.49688
p=0,34

Как всегда, по щелчку на картинке можно скачать изображение в полном размере.

Веточка

Вот такая красивая веточка получается, если при генерации IFS-фрактала задать два правила:

Правило 1
x_n+1= -0.65313x_n+0.14062y_n+0.2
y_n+1= 0.20625x_n+ 0.60625y_n-0.5875
p=0,5

Правило 2
x_n+1= 0.85x_n+  0.0875y_n+0.275
y_n+1= -0.2125x_n+0.8y_n+ 1.0625
p=0,5

Лист папоротника - IFS-фрактал

(можно скачать фрактал в размере 800x800)

IFS-фракталы строятся по следующему алгоритму:

Задаётся некоторое множество правил перехода текущей точки в следующую, у каждого правила - своя вероятность p его применения. Далее, начиная с точки (0;0), случайным образом выбирается правило и находится следующая точка, из неё получают следующую, и так далее.

Конкретно для этого рисунка набор правил был следующим:
Правило 1
x_n+1=0
y_n+1=0,16y_n
p=0,01

Правило 2
x_n+1=0,85x_n+0,04y_n
y_n+1=-0,04x_n+0,85y_n+1,6
p=0,85

Правило 3
x_n+1=0,2x_n-0,26y_n
y_n+1=0,23x_n+0,22y_n+1,6
p=0,07

Правило 4
x_n+1=-0,15x_n+0,28y_n
y_n+1=0,26x_n+0,24y_n+0,44
p=0,07

Этот, как и остальные представленные с блоге фракталы, построен с помощью программы Fractal Explorer

Жюлиа с кубом вместо квадрата

Это фрагмент множества Жюлиа, получающегося для итерационного процесса Z_n+1=Z_n³+С при С=0,66+0,5i

Щёлкнув по картинке, можно скачать её в полном размере.

Множество Жюлиа

Множество Жюлиа строится аналогично множеству Мандельброта, только величину C берут не с комплексной плоскости, а задаются ей вначале, для каждой же точки вычисляется число шагов, за которое последовательность итераций Z_n+1=Z_n²+С уйдёт из круга радиусом 2. 

Представленное здесь множество получается при C=0,31+0,47i .

При щелке на картинку, её можно скачать в разрешении 1024х768.

Неделя фракталов на Десяти буквах

Каждый день с 3 по 9 мая мы будем публиковать новую фрактальную картинку.

Та выглядит область Мандельброта в окрестности точки (0,2676553; 0,0040904):