суббота, 1 января 2022 г.

Квадрат из натуральных чисел

Давайте начнём новый, 2022й год с интересной задачи.

Рассмотрим квадратную таблицу. Попробуем её заполнить натуральными числами так, чтобы суммы чисел во всех строках и всех столбцах были одинаковыми.

Это немного напоминает магические квадраты, но с облегчёнными условиями: числа внутри могут повторяться, а равенство сумм требуется только по строкам и столбцам, не по диагоналям.

Разумеется, можно построить сколько угодно таких квадратных таблиц, проще всего взять и заполнить её одиними единицами.

Но давайте теперь подсчитаем, сколько существует квадратов, сумма всех элементов которых равна наперёд заданному числу N.

Например, для N = 12 таких квадратов тоже 12. Смотрите:

один квадрат из одной ячейки, в которой запишем число 12.

  [12]

пять квадратов из четырёх ячеек, вот такие:

  [1 5] [5 1] [2 4] [4 2] [3 3]

  [5 1] [1 5] [4 2] [2 4] [3 3]


и шесть квадратов из девяти ячеек:


  [1 1 2] [1 1 2] [1 2 1] [1 2 1] [2 1 1] [2 1 1]

  [1 2 1] [2 1 1] [1 1 2] [2 1 1] [1 1 2] [1 2 1]

  [2 1 1] [1 2 1] [2 1 1] [1 1 2] [1 2 1] [1 1 2]


Понятно, квадратов большего размера, заполненных натуральными числами, сумма которых равна 12, не существует. Таки образом, существует 12 квадратов, сумма элеметов которыхравна 12, и суммы чисел в каждой строке и в каждом столбце равны.


А теперь предлагаем вам, уважаемые читатели, выяснить, сколько существует квадратов с указанным свойством, сумма всех чисел в ячейках которых равна 28? Вы, вероятно, догадываетесь, какой будет ответ ;) - тем интереснее будет перечислить их все.

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор дроби язык степень делимость пи методы история квадрат самоописывающее время задача система счисления узор корень тригонометрия структура е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал комбинаторика последовательность график память логарифм вероятность палиндром пределы конкурс треугольник магический квадрат неизвестное правильно-неправильное действие видео интеграл уравнение комплексные софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы матрица проценты разрезания логика парабола символ статистика 2014 Фибоначчи клеточный автомат кривая производная фокус головоломка действия иллюзия куб шахматы многоугольник новости оказывается оригами подобие построение сложение термин тетраэдр топология