Как найти производную 1/x

Чудесное преобразование появилось сегодня в группе Mathematical Mathematics Memes
Продифференцируем по x функцию $\frac{1}{x}$

Вот, что получим:

Ответ сходится с таблицей производных!

Функция Дирихле

Функция Дирихле D(x) определена для всех действительных чисел и рана единице, если x - рациональное число и нулю, если x - иррациональное.

Если бы мы попытались изобразить график этой функции, то на нём между любыми двумя точками с ординатой 1 имелась бы точка с ординатой 0, и между любыми точками с ординатой 0 имелась бы точка с ординатой 1. Этот график был бы разрывен в каждой точке.

Функцию Дирихле часто приводят как пример недифференцируемой функции.

Производная логарифма

Комментируя пост о дискриминанте, наш читатель Денис Сепетов привёл пример ещё одной формулы-заклинания.

Объяснить, почему производная натурального логарифма равна именно единице на икс, студенты и старшеклассники часто не могут.

В тоже время, здесь тоже всё очень просто и логично. Для начала вспомним, что такое производная. Классическое определение гласит:

Производная функции - это предел отношения приращения зависимой переменной к приращению независимой переменной, когда последнее стремится к нулю.

То есть, у нас есть две переменные: независимая, х, которая может принимать любые значения, и зависимая - y, которая для каждого значения x определяется по формуле y = ln x.

Если х приращивается на некоторую величину  , то прирост зависимой можно вычислить по формуле:

Предел отношения этих приращений будет равен:

Теперь, чтобы объяснить большую магию, задействуем магию поменьше :) - второй замечательный предел.

По одному из следствий из него, бесконечно малые величины x и ln(1 + x) - эквивалентны. Так что далее предел преобразуется следующим образом:

Что и требовалось доказать.