Когда я, лет 8 назад, получил регулярный доступ в интернет и начал общаться на форумах (в основном, на форуме по Цивилизации), многие слова и выражения были непонятны. Среди них было и буквосочетание "ЗЫ". Взглянув на клавиатуру я догадался, что так в рунете часто обозначают постскриптум.
А сейчас узнал интересный факт: в кабардино-черкесском языке слово зы обозначает числительное 1.
Иногда из одинакового набора граней можно собрать различные многогранники: как выпуклый, так и невыпуклый. Объём какого из них в этом случае будет больше? Интуитивно кажется, что выпуклого, однако это не всегда так. Ролик с Этюдов демонстрирует, что в некоторых случаях невыпуклый многогранник будет иметь больший объём.
Для приведённого в видео примере отношение объёмов составляет 1,163... Каким же является максимально возможное отношение объёмов невыпуклого и выпуклого многогранников, составленных из одних и тех же граней, до сих пор неизвестно.
Когда-то я составлял список числительных из различных языков, количество букв в которых равно их значению. Это удалось сделать для чисел от 1 до 18, кроме десятки.
В задаче о поиска чисел, которые в q-ичной системе счисления записывалось бы как p, а в p-ичной - как q продвигается с помощью наших читателей.
Вадим заметил, что любое число, записываемое как n в десятичной системе счисления выглядит как 10 в системе по основанию n.
А Николай нашёл принципиально отличный пример: запись "65" в 87-ричной системе счисления означает 6 * 87 + 5 = 527. То же самое означает и запись "87" в 65-ричной системе: 8 * 65 + 7 = 527.
Задачу поиска не более чем двузначных p и q можно записать так: Пусть p состоит из цифр a и b, а q - из цифр c и d. Тогда запись (ab)cd означает число a*cd+b=10ac+ad+b. А запись (cd)ab означает число c*ab+d=10ac+bc+d. (Запись ab означает не произведение, а число с цифрами a и b).
Тогда получаем уравнение ad + b = bc + d Откуда (a - 1)d = (c - 1)b
Получаем ещё одну группу решений: если оба числа начинаются на 1. К примеру, запись "15" в 19-ричной системе означает число 15+9=24. То же самое будет означать и запись "19" в 15-ричной системе.
Если же d=c-1, а b=a-1 (как в числах 87 и 65) - тоже равенство выполнится.
Если последовательно рассмотреть точку, отрезок, квадрат и куб, можно заметить, что каждый следующий объект получается из предыдущего дублированием и параллельным и переносом копии вдоль нового измерения. Траектории переноса каждого их элемента формирует элемент более высокой размерности. Например, 4 стороны квадрата, двигаясь, создают боковые грани куба.
Так же и куб можно сдвинуть вдоль четвёртого измерения и образуется гиперкуб. И так же, как проекцию куба можно изобразить на бумаге (двумерном объекте), четырёхмерный гиперкуб можно проецировать в пространство.
Как это выглядит, показано на видео. Смотрите его так же, как стереокартинки: глаза должны сфокусироваться на некоторой точке перед экраном, чтобы оба изображения совместились.
На листе бумаги нарисован многоугольник (не обязательно выпуклый). Можно ли так согнуть лист, чтобы этот многоугольник можно было бы вырезать одним разрезом?
Оказывается, всегда ответ - да. Вот ролик иллюстрирующий пару примеров.
Для фигуры, показанной в его заставке схема сгибов будет следующей:
В общем виде последовательность действий для определения необходимых сгибов состоит из трёх шагов:
1. Построить прямолинейный скелет многоугольника. Как он строится иллюстрирует эта анимированная схема:
Все стороны многоугольника мы уменьшаем так, чтобы они оставались параллельны исходным положениям и все расстояния между сторонами и их начальными положениями были равными. В процессе сжатия многоугольник может разбиться на несколько областей - продолжаем уменьшение для них.
Траектории, описанные его вершинами, и будут прямолинейным скелетом.
2. Из узлов скелета опускаем перпендикуляры на те стороны, стяжкой которых эти вершины образовались.
3.Определение направлений сгиба (вверх или вниз)
Как видите, направление меняется как только линия пересекает границу многоугольника.
Согнув лист по этой схеме, многоугольник можно будет вырезать одним разрезом.
Вот какую удивительную структуру удалось получить Тому Лову в 2010 году, применив формулы преобразований для трёхмерного пространства, аналогичные тем, на основе которых строится озеро Мандельброта.
В конце XVIII века английским учёным Томасом Мальтусом было выведено 2 принципа:
- население растёт в геометрической прогрессии
- ресурсы растут в арифметической прогрессии.
Поэтому рано или поздно имеющихся ресурсов не будет хватать для обеспечения потребностей растущего населения.
