Модуль синуса больше единицы

Есть много шуток на счёт решений задач, в ходе которых синус оказывается больше единицы (или меньше минус единицы).

Но оказывается, синус может всё-таки по модулю превосходить единицу! Если брать синус от комплексных переменных.

Расширить область определения синуса на множество компексных числе можно, использовав его разложение в ряд Тейлора:

$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\dots$

В эту формулу можно подставить $x = i = \sqrt{-1}$ и получить:

$\sin i = i-\frac{i^3}{3!}+\frac{i^5}{5!}-\frac{i^7}{7!}+\frac{i^9}{9!}-\dots=i+\frac{i}{3!}+\frac{i}{5!}+\frac{i}{7!}+\frac{i}{9!}+\dots= 1.175\dots \cdot i$

Выходит, по модулю синус числа i будет больше единицы:
$|\sin i | = 1.175\dots$

Семёрка на математических часах - определитель матрицы

На математических часах вместо семёрки находится формула $\begin{vmatrix}i \lg 10&-2\\ \sqrt{16}&i\end{vmatrix}$.

Это определитель матрицы, элементы которой, в свою очередь задаются через логарифмы, корни и мнимую единицу. Посмотрим, как он вычисляется.

7 - Определитель

Матрица - это особый математический объект, Нео :) Она представляет собой прямоугольную таблицу с числами. Кстати, n-мерный ветор тоже можно рассматривать как матрицу размером 1 x n.

Матрицы можно умножать на число, складывать между собой (если они одинакового размера) или перемножать (если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй).

Особый интерес представляют квадратные матрицы, так как через них можно достаточно просто выразить, например, решение систем линейных уравнений или расчёт параметров отрисовки объектов в 3D-играх. Для квадратных матриц можно вычислить определитель.

Определитель матрицы 2х2 вычисляется по формуле:
$\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix} = ad-bc$

А для матрицы 3х3 формула будет такой:
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\\-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{22}a_{32}$

В нашем случае, получаем:
$\begin{vmatrix}i \lg 10&-2\\ \sqrt{16}&i\end{vmatrix} = i \lg 10 \cdot i - (-2)\cdot \sqrt{16} =  i \cdot i+2\cdot 4 = -1+8 = 7$

Объяснение математических часов: 2 - формула Эйлера

Вместо числа 2 на моих математических часах формула:
$2 = 1-e^{\pi i}$

2. Формула Эйлера
Считающаяся одной из самых красивых формул в математике, формула Эйлера объединяет числа пи, е, единицу, мнимую единицу и ноль и имеет вид:
$e^{\pi i}+1 = 0$

Почему число е, возведённое в мнимую степень, даёт действительное число?

Для начала уточним, что выражение $e^{\pi i}+1 = 0$ на самом деле называется тождеством Эйлера и является частным случаем более общей формулы Эйлера, которая выглядит так:
$e^{i x} = \cos x + i \sin x$

Доказывается она через разложение показательных и тригонометрических функций в ряды. Тема степенных рядов заслуживает отдельного поста здесь или даже на Эвольвенте, но пока можно просто сказать, что верны равенства:
$e^x = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots$,
$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots$,
$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots$,
где справа - бесконечные суммы.

Разложив $e^{i x}$ в ряд и использовав свойства мнимой единицы ($i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$), мы и получим искомое выражение: $e^{i x} = \cos x + i \sin x$

Подставив $x = \pi$, имеем: $e^{\pi i} = -1$

Факториал дробных чисел

Вычислим факториалы нескольких натуральных чисел и отметим точки (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24) и т.д.на прямоугольной системе координат.

Что если попробовать плавной линией соединить эти точки и найти функцию, график которой имел бы такой вид? Тогда можно было бы вычислять факториал от любых чисел, не только от натуральных.

Об этом математики задумались в начале XVIII века. Если такая функция f(x) существует, она должна удовлетворять условию f(x) = x f(x-1), т.е. рекурсивному определению факториала. В 1729 году Леонард Эйлер нашёл способ получить факториал в виде бесконечного произведения, в которое в качестве аргумента можно было подставлять и дробные числа.



Вот как будет работать эта формула для n = 4, например:



Сходится произведение довольно медленно, я проверил в Экселе. Для того, чтобы произведение превысило 23, нужно взять 139 множителей, а чтобы добраться до 23,5, множителей нужно уже 283. На 1435-м шагу произведение доходит до 23,4, ну а в бесконечности будет равно 24

Я выложил лист для вычисления факториала в гугл доки. Меняете n и смотрите, к чему будут стремиться частичные произведения.

Чуть позже Эйлер выразил факториал в виде несобственного интеграла:


Применим к нему метод интегрирования частями, взяв u = (-ln x)ⁿ, dv = dx:



Требуемое свойство выполняется.

Заменой t = −ln x этот интеграл принимает используемый в настоящее время вид и известен как гамма-функция.



Аргументами её могут быть не только дробные или даже отрицательные числа, но и комплексные.








Для натуральных аргументов Г(n) = (n-1)!

Шотландский математик Джеймс Стирлинг был современником Эйлера и вывел формулу, позволяющую приближённо вычислять факториал для больших чисел.

А вот как я использовал факториал на математических часах.

И снова 0 = 1

Интересный способ доказать, что 1 = 2 использует корень из минус единицы.

Начнём с очевидного:


Извлечём корень:


Превратим корень из частного в частное корней:


Значит:


Разделим обе части на 2:


Прибавим к обеим частям по , получим:


умножим обе части на i, раскроем скобки и учтём, что i² = -1:
 





1 = 2

0 = 1

Зачем понадобилось число i

Часто, когда рассказывают о комплексных числах, говорят, что они были введены в математику, чтобы любые квадратные уравнения имели решения. Однако на самом деле всё было интереснее.

Ведь и вправду, что с того, что уравнение x² + 1 = 0 не имеет корней в действительных числах?  Не имеет - так не имеет. А вот вводить новый математический объект, число i, являющееся квадратным корнем из минус единицы, понадобилось, чтобы решать кубические уравнения.

Как дискриминант для квадратных, для решения кубических уравнений используется формула Кардано. Для уравнений вида
x³ + px + q = 0

Один из корней получается по формуле


Однако, если рассмотреть уравнение
 x³ - x = 0, получим:

p = -1, q = 0


Без умения извлекать квадратные корни из отрицательный чисел, на этом этапе решение остановилось бы. Однако, легко видеть (не люблю эту фразу в решениях, но здесь и вправду легко :) ), что исходное уравнение имеет целых 3 действительных корня: -1, 0 и 1.

Если же ввести число  и доказать, что кубический корень из него равен -i:



То корень уравнения будет получен:


Интересно, что два других корня будут получены из той же самой формулы. Просто существуют ещё два разных числа, каждое из которых в кубе давать i. Это


Можете проверить, что каждое из них, будучи возведённым в куб, даст i. Использовав их на этапе извлечения кубического корня в нашем уравнении, получим оставшиеся два решения: x = 1 и x = -1

Впервые комплексные числа в математику ввёл Рафаэль Бомбелли, он также нашёл алгоритм разложения любого корня в цепную дробь.

Комплексное число в комплексной степени

А можно ли, возведя комплексное число в комплексную степень, получить действительное число?

Вот подсчитаем, чему равно iⁱ

Для этого рассмотрим формулу Эйлера
 

Перенесём единицу вправо:



Теперь возведём левую и правую часть в степень i. Т.к. i²=-1, то


И теперь извлечём корень из левой и правой части:


Таким образом,


Итак, мнимое число во мнимой степени может давать действительный результат!

2 - число составное

Да-да, на множестве целых комплексных чисел (вида a+bi, где a, b - целые, а i²=-1) число 2 раскладывается на множители как:

2=(1+i)(1-i)