Объяснение математических часов: 5 - золотое сечение

На математических часах в двух формулах встречается буква фи ($\phi$) однако, она имеет разный смысл. Чётвёрка на часах задаётся через функцию Эйлера, а пятёрка - через константу Золотого сечения:

$5=(2\phi-1)^2$

5 - Золотое сечение
Золотое сечение возникает из следующей задачи. Единичный отрезок нужно разделить на 2 части так, чтобы большая часть относилась к меньшей как весь отрезок относится к его большей части.

Составим пропорцию:
$\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}$

Откуда получаем квадратное уравнение:
$x^2-x-1 = 0$

Его положительным корнем будет:
$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Это число обозначается как $\phi\approx 1,618$

У него много интересных свойств. Например, если число фи увеличить на единицу, получим его квадрат. А если уменьшим на единицу - получим обратную величину, $\frac{1}{\phi}$

Число фи всплывает и при вычислении бесконечных цепных дробей или вложенных корней. Забавно, что собственно о числах Фибоначчи и порождающей их формуле я в блоге до сих пор не писал - постараюсь это исправить :)

Разность и сумма дробей

Разложение числа 2014 на простые множители поможет ответить и на вопрос, сколькими способами аликвотную дробь $\frac{1}{2014}$ можно представить в виде суммы или разности двух аликвотных дробей.

Составим диофантово уравнение:
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{2014}$

$\frac{y-x}{xy}=\frac{1}{2014}$

2014y - 2014x = xy

(2014-x)y = 2014x

$y = \frac{2014 x}{2014-x}$

Так как слева - натуральное число, то и справа число должно быть натуральным. Во-первых, такое возможно, если разность 2014 - х окажется равным одному из делителей числа 2014: 1, 2, 19, 38, 53, 106 или 1007. Это даёт пары решений (х,у):
(2013,4054182);
(2012,2026084);
(1995,211470);
(1976,104728);
(1961,74518);
(1908,36252);
(1007,2014).

Однако, все ли это решения? Нет, ведь, например, при x = 2010 знаменатель дроби $y = \frac{2014 x}{2014-x}$ тоже сократится полностью. Так как же найти, сколькими способами можно представить дробь $\frac{1}{2014}$ в виде разности двух аликвотных дробей, не прибегая к полному перебору?

Для этого введём замену d = 2014 - x. Тогда выражение для y обретёт вид:

$y = \frac{2014 (2014-d)}{d}=\frac{2014^2-2014d}{d}=\frac{2014^2}{d}-2014$

Таким образом, число d должно быть делителем числа $2014^2$ и быть меньше числа 2014. Всего для него 13 вариантов:
1, 2, 4, 19, 38, 53, 76, 106, 212, 361, 722, 1007, 1444

Что даёт следующие равенства:
$\frac{1}{2014}=\frac{1}{2013}-\frac{1}{4054182}=\frac{1}{2012}-\frac{1}{2026084}= \frac{1}{2010}-\frac{1}{1012035}=\\
=\frac{1}{1995}-\frac{1}{211470}=\frac{1}{1976}-\frac{1}{104728}=\frac{1}{1961}-\frac{1}{74518}=\\
=\frac{1}{1938}-\frac{1}{51357}=\frac{1}{1908}-\frac{1}{36252}=\frac{1}{1802}-\frac{1}{17119}=\\
=\frac{1}{1653}-\frac{1}{9222}=\frac{1}{1292}-\frac{1}{3604}=\frac{1}{1007}-\frac{1}{2014}=\frac{1}{570}-\frac{1}{795}$

А найти, сколькими способами число $\frac{1}{2014}$ представляется в виде суммы аликвотных дробей предлагаем вам самостоятельно. Будет хорошая тренировка перед математическими олимпиадами этого года.

Разность треугольных чисел

С представлением числа 2014 в виде разности квадратов не получилось. Но может получиться треугольными числами.

Треугольное число описывается формулой $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$. Из $T_n$ монет можно выложить треугольник со стороной n.

Итак, пусть число 2014 представляется разностью треугольных чисел:
$T_x-T_y=2014$

$\frac{x(x+1)}{2}-\frac{y(y+1)}{2}=2014$

$x^2+x-y^2-y=4028$

$(x-y)(x+y)+(x-y)=4028$

$(x-y)(x+y+1)=4028$

Здесь число 4028 представляется в виде произведения двух натуральных чисел разной чётности. Это возможно сделать следующими способами:

4028 = 1х4028 = 19х212 = 53x76 = 4x1007

Для каждого из способов будет одно решение уравнения. В итоге имеем:
$2014 = T_{2014}-T_{2013} = T_{115}-T_{96}=T_{64}-T_{117}=T_{505}-T_{509}$

Простые числа и разность квадратов

Пора бы уже, по традиции, собирать интересные факты о номере наступающего года: 2014.
Начнём с того, что это число раскладывается на простые множители так:

$2014=2\times 19\times 53$

Обычно сразу после этого факта я пишу, сколькими способами его можно представить в виде разности квадратов, но сейчас хочу пояснить подробнее, какая связь между этими способами и простыми множителями числа.

Итак, пусть для некоторых натуральных х и у:
$x^2-y^2=2014$

Левая часть раскладывается на множители по формуле разности квадратов:
(x-y)(x+y) = 2014

Заметим, что выражения х-у и х+у, как сумма и разность двух натуральных чисел, имеют одинаковую чётность. Поэтому, чтобы найти все возможные решения, попробуем число 2014 представить в виде произведения двух натуральных чисел одинаковой чётности.

А вот это как раз невозможно. Ведь среди простых делителей числа 2014 только одна двойка, и, как бы мы ни группировали их в два множителя, один будет чётным, другой - нечётным.

Часы в дискриминанте

На научном формуе dxdy.ru ведущий математического марафона VAL поделился забавным случаем в экзаменационной работе.

Дискриминант квадратного уравнения был записан как:
b² - часы

Именно так, с буквой ы :)

Коварный дискриминант

В интересном образовательном блоге "Привычка не думать" я прочёл одну поучительную историю. Молодой учитель математики решил применить новый подход при изучении темы "Квадратные уравнения". Он на первом же уроке дал детям формулу дискриминанта и метод нахождения корней, не размениваясь на преварительные темы.

Дети выходили к доске, поглядывая на записанную рядом общую формулу решения уравнения ax² + bx + c = 0, находили дискриминант, и щёлкали примеры как орешки. Казалось бы - прорыв в педагогике!

 Но старший коллега предложил на следующем занятии проверить закрепление навыков  и дать несложную контрольную. В ней были примеры наподобие:
4x - 4x² - 1 = 0,
2 + 7x + 5 = 0,
x² + 3x² + 5x² = 0,
3x + 5 - 2x -7 = 0

Как видите, часть уравнений была вовсе линейными, а другая требовала несложных преобразований. Но ко всем этим примерам дети исправно применяли вызубренную, но не осмысленную формулу дискриминанта. В последнем случае на четвёртый коэффициент, не помещавшееся в формулу, просто не обращали внимания.

Вот, что бывает, когда делается упор на обучение без понимания.

А тут я когда-то писал, откуда вообще взялся этот дискриминант.

Уравнение Пелля

Рассмотрим задачу:
Найти натуральные x и y, для которых
 x² - 2012y² = 1

Поскольку 2012 кратно четырём, то данное уравнение равносильно:
 x² - 503z² = 1,
где z = 2y.

Вот, что с ним можно сделать теперь . Разделим обе части на z² и выполним перенос вычитаемого вправо:


И извлечём корень:


Таким образом, корни этого диофантова уравнения можно искать среди рациональных приближений корня из 503.

Этот корень раскладывается в бесконечную цепную дробь:


Дальше числа в знаменателях будут периодично повторяться. Более коротко такая цепная дробь записывается как:
[22, (2, 2, 1, 21, 1, 2, 2, 44)].

Если обрывать цепную дробь на каком-нибудь слагаемом и сворачивать её обратно, будем получать подходящие дроби. Если для приближения взять дробь



То получим первую пару натуральных чисел, удовлетворяющую условию:
24648² - 503*1099² = 1

Таким образом, x = 24648, y = 2198

Вот так решаются уравнения Пелля. Заметим. что в таких уравнениях коэффициент при y² не является полным квадратом.

Алгебраические числа

Из курса математики хорошо известны множества натуральных, рациональных, действительных чисел. Чуть реже упоминаются алгебраические и трансцендентные числа.

Алгебраическими числами называют те, которые могут быть корнями многочлена с целыми коэффициентами. Например, алгебраическое число √2, т.к. оно является корнем уравнения x² - 2 = 0. Точно так же алгебраическое число i, т.к. оно удовлетворяет уравнению x² + 1 = 0.

А вот для числа пи нет такого многочлена с целыми коэффициентами, корнем которого оно бы было. Значит, число пи трансцендентно. Трансцендентно и число е.

Дискриминант

Метод решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта знают почти все. Но, как мне пришлось убедиться, для многих эта формула: D = b² - 4ac кажется своего рода заклинанием. И почему для получения корней сначала нужно произвести именно такую операцию с коэффициентами - загадка.

Чтобы понять, откуда взялась формула дискриминанта и почему она работает, попробуем решить квадратное уравнение без неё.

Итак, имеем уравнение ax² + bx + c = 0, где первый коэффициент не равен нулю.

Для начала разделим обе части на a:

Было б здорово, если бы левую часть удалось свернуть по формуле квадрата суммы. Квадрат первого, x² , уже есть. Тогда удвоенным произведением первого на второе должно стать:

Квадрат второго будет равняться


Прибавим его и отнимем от левой части уравнения:

Соберём три слагаемых левой части в квадрат суммы, а оставшиеся два - перенесём вправо:

Приведём правую часть к общему знаменателю:

Вот он! Выражение b² - 4ac, стоящее в числителе правой части - и есть наш дискриминант. Почему же его знак определяет количество корней? Рассмотрим полученное уравнение внимательнее. Слева стоит квадрат. В знаменателе правой части - тоже квадрат. И только дискриминант может иметь любой знак. Поэтому, если он окажется отрицательным, полученное уравнение корней иметь не будет. Если нулевым - корень будет единственным (кстати, формула нахождения вершины параболы также происходит отсюда). И только для положительного дискриминанта будет 2 различных корня.

Ну а дальше - легко :)