Високосный год

В григорианском календаре год является високосным, если его номер делится на 400 или делится на 4, но не делится на 100. Таким образом, за 400 лет будет 97 високосных годов. Таким образом, в среднем в суток в году будет
 

Однако, это неоптимальное приближение. Сейчас средняя длина тропического года, т.е. время от одного весеннего равноденствия до следующего, составляет 365,2421897. Очень хорошо приближает это значение дробь


Если строить календарь, основываясь на ней, високосными годами были бы только те, номера каких делятся на 4 и не делятся на 128. Если бы мы пользовались двоичной системой, переход на данное правило не вызвал бы проблем :)

Телефонный опрос

Перед президентскими выборами 1936 года в США журнал Literary Digest провёл опрос общественного мнения. Ранее все его опросы в 1920, 1924, 1928 и 1932 годах правильно предсказывали победителя.

На этот раз опрос проводился с небывалым размахом. Респонденты выбирались из списка подписчиков, телефонных книг, регистрационных баз автомобильных номеров. Всего опросили 10 миллионов человек, из ни 2,4 миллиона согласились ответить.

По итогам опроса выходило, что кандидат-республиканец Альф Лэндон с перевесом примерно 60 против 40 выиграет у демократа Франклина Делано Рузвельта. Однако, в реальности всё произошло наоборот и Рузвельт победил с рекордно большим отрывом (рекорд держится до сих пор).
Журнал вследствие этого лишился доверия и вскоре закрылся.

Почему же опрос дал сбой? Дело в том, что во времена великой депрессии позволить себе подписку на журнал, домашний телефон, и, тем более, автомобиль, могли только богатые. Они-то традиционно поддерживали республиканцев. Это как если бы интернет-опрос показал, что 100% россиян имеют выход в интернет.

В том же году Американский институт общественного мнения под руководством Джорджа Гэллопа провёл свой опрос всего на 50 тысячах респондентов, и тот правильно предсказал не только результаты выборов, но и результаты опроса журнала Literary Digest.

Этот случай считается началом современной эры исследования общественного мнения с помощью научных методов.

Софизм с неравенством

Сегодня проходил областной конкурс-защита работ в Малой академии наук. В секции математики ученица 11 класса Валерия Скорик показала придуманный ей интересный софизм, в котором доказывается, что единица больше корня из трёх.

Начнём с очевидного равенства:



Возьмём от обеих частей котангенс:



Теперь прологарифмируем по основанию 10:



Удвоив левую часть превратим равенство в неравенство:



Теперь внесём коэффициент под знак логарифма:



Так как логарифм взят по основанию, большему единицы, то, избавившись от него, знак неравенства сохранится:



Подставив значение функции, получим:

Функция Дейкстры

В блоге Republic of Math я нашёл статью об одной интересной целочисленной неотрицательной функции. Придумал её Эдсгер Дейкстра, обозначив fusc(n).

Значения функции вычисляются по следующему алгоритму:
fusc(0) = 0
fusc(1) = 1
fusc(2n) = fusc(n)
fusc(2n+1) = fusc(n) + fusc(n+1)

Вот как она себя ведёт:

Исследовав первую сотню значений функции:
0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, 6, 5, 9, 4, 11, 7, 10, 3, 11, 8, 13, 5, 12, 7, 9, 2, 9, 7, 12, 5, 13, 8, 11, 3, 10, 7, 11, 4, 9, 5, 6, 1, 7, 6, 11, 5, 14, 9, 13, 4, 15, 11, 18, 7, 17, 10, 13, 3, 14, 11, 19, 8, 21, 13, 18, 5, 17, 12, 19, 7, 16, 9, 11, 2, 11, 9, 16, 7
можно заметить, что fusc(n) чётное тогда и только тогда, когда n делится на 3. А как это доказать?

10 "орлов" подряд

Джеймс Грайм, ведущий ютуб-канала о занимательной математике singingbanana, бросая монетку, 10 раз подряд получил выпадение "орла". Вот видеодоказательство:

Легко подсчитать, что вероятность подобного события чуть меньше одной десятой процента. Как же ему удалось заставить подобное произойти?

В видео нет никакого монтажа, монетка самая обычная (хотя это не демонстрируется здесь). Подумайте, а потом проверьте свою догадку, посмотрев разоблачение фокуса:

Тринадцать очков

Какое наибольшее число очков, которое можно выкинуть при броске двух стандартных игральных кубиков? Очевидно, 12 - когда оба кубика упадут шестёркой вверх.

Однако история сохранила одну необычную игру в кости, в которой исход партии решила случайность из разряда "одна на миллион".

Король Норвегии Олаф II и король Швеции, тоже Олаф, оспаривали друг у друга контроль над пограничным островом. Они решили разыграть его в кости (раньше я думал, что так они вообще решили обойтись без войны, а сейчас нашёл источник, в котором говорится, что сначала они, всё-таки, воевали, и за гораздо большие территории, а уже при мирных переговорах прибегли к игре).

По свидетельству хроники, шведский король выбросил две шестёрки и стал говорить, что норвежскому Олафу бесполезно даже пытаться. Но норвежский король бросил кубики - и у него выпало 2 шестёрки. Пока ничья.

Во втором заходе швед опять выбрасывает две шестёрки. Но когда норвежец бросил кубики, на одном выпала шестёрка, а другой раскололся пополам, и половинки дали в сумме 7 очков. 6+7=13. Шведу пришлось уступить.

Ещё про 2012

Число 2012 является половиной полусуммы 896-го простого и 896-го составного чисел.