Объяснение математических часов: 5 - золотое сечение

На математических часах в двух формулах встречается буква фи ($\phi$) однако, она имеет разный смысл. Чётвёрка на часах задаётся через функцию Эйлера, а пятёрка - через константу Золотого сечения:

$5=(2\phi-1)^2$

5 - Золотое сечение
Золотое сечение возникает из следующей задачи. Единичный отрезок нужно разделить на 2 части так, чтобы большая часть относилась к меньшей как весь отрезок относится к его большей части.

Составим пропорцию:
$\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}$

Откуда получаем квадратное уравнение:
$x^2-x-1 = 0$

Его положительным корнем будет:
$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Это число обозначается как $\phi\approx 1,618$

У него много интересных свойств. Например, если число фи увеличить на единицу, получим его квадрат. А если уменьшим на единицу - получим обратную величину, $\frac{1}{\phi}$

Число фи всплывает и при вычислении бесконечных цепных дробей или вложенных корней. Забавно, что собственно о числах Фибоначчи и порождающей их формуле я в блоге до сих пор не писал - постараюсь это исправить :)

Злые числа

Если сложив от первой до некоторой n-й цифры дробной части числа x можно получить репдигит 666, то число x называют злым. Оказывается, злыми являются число пи и константа золотого сечения число фи. Требуемая сумма получается при складывании первых 144 или 146 цифр, соответственно.

Такое определение опять зависимо от выбранной системы счисления (кстати, в двоичной системе все иррациональные числа будут злыми). Но если рассмотреть аналогичным образом разложение числа в цепную дробь, от выбранной системы независящее, то и тут число пи окажется злым! Сумма первых 56 звеньев его цепной дроби даст 666.

Сумма квадратов ряда Фибоначчи

На сайте http://mathoverflow.net сейчас идёт конкурс доказательств без слов. Вот как пользователь serargus показывает, что сумма квадратов n первых членов ряда Фибоначчи равна произведению n-го на (n+1)-й член ряда.

Цепочка корней

Число фи можно получить и из выражения

Бесконечная цепная дробь

Число фи, коэффициент золотого сечения получается из бесконечной цепной дроби:

Золотой прямоугольник

Золотой прямоугольник - прямоугольник, стороны которого относятся в золотом сечении
Он интересен тем, что если отрезать от него квадрат, стороны нового прямоугольника будут находиться в том же самом отношении.

Обычно в виде золотых прямоугольников изготавливаются игральные карты.