Любые цифры в степени двойки

А вы знали, что для любой заданной наперёд последовательности цифр найдётся степень двойки, с этой последовательности начинающаяся? Например первые 4 цифры числа $2^{9645}$ будут 2718 - такие же, как и у числа e, а десятичная запись степени $2^{1363}$ начинается с 2013, номера текущего года.

Доказывается это вот как:

Как выиграть в казино?

Как-то я писал о том, что у кубика нет памяти. Однажды в 1913 году этот факт позволил баснословно обогатиться одному казино в Монте-Карло.

18 августа 1913 года на рулетке начала выпадать серия из чёрных секторов. пять, десять, пятнадцать раз подряд... Игроки, полагающие, что уж теперь-то она должна перваться, стали массово ставить на красное. Выпало чёрное.

Снова ставки - уж теперь-то должно быть красное! Нет, опять чёрное. И ещё, и ещё раз. Прикинув, что вероятность двадцати чёрных секторов подряд чуть меньше одной миллионной, посетители снова массово ставили на красное. И опять мимо.

Ведь при оценке шансов надо было событие "двадцать чёрных подряд" сравнивать не с событием "любая другая последовательность", а с событием "девятнадцать чёрных и красное". И в этом случае призрачная "одна миллионная" превращается в осязаемые пятьдесят процентов.

Хуже всего приходилось тем, кто, желая отыграться, удваивал ставку после каждого проигрыша. Ведь перебороть серию из 26 чёрных секторов подряд денег не хватило никому.

Так что ответ на вопрос заголовка - чтобы выигрывать в казино, надо быть его владельцем!

Первые цифры степеней

Закономерность в последних цифрах степеней находится легко. А что можно сказать о первых цифрах степени двойки? Есть ли в последовательности 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, …закономерность?

Сначала кажется, что группа из 10 цифр 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5 здесь опять-таки будет повторяться периодически. Но быть полностью уверенными в этом мы не можем, т.к. первая цифра степени может зависеть не только от первой, а от всех цифр предыдущей степени.

Последние цифры степеней

Рассмотрим  последовательность степеней двойки:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...

И выпишем только последние цифры:
2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4,...

Будет ли эта закономерность сохраняться до бесконечности?

Обман зрения в геометрии

Часто при доказательстве теоремы Пифагора используется метод разрезания и перекладывания частей. Однако не следует забывать, что используя такой путь следует строго доказывать, что мы получили именно ту фигуру, которую хотели. Иначе могут возникать ситуации, подобные следующей:

Возьмём квадрат 8 на 8 и разрежем его на 4 части:

Теперь переложим части вот так:

Получается, что из одних и тех же частей состоят и квадрат площадью 64 и прямоугольник площадью 65.



Но это не всё - переложив части вот так:

Насколько точен ваш компьютер?

Мы привыкли доверять в расчётах компьютеру. Но иногда - чересчур полагаемся на него. А сейчас я покажу один поучительный пример, позволяющий оценить точность вычислений.

Откроем новый документ Excel. В ячейку А1 введём число 0

Десятью словами

Как-то я предлагал задачку описать натуральные числа фразами, состоящими из меньше числа букв, чем соответствующее числительное.

Например, вместо "двадцать семь" можно сказать "три в кубе", вместо "пятьдесят" - "полсотни".

Рассмотрим другой вариант этой задачи. Будем стараться сократить не количество букв, а количество слов во фразе, описывающей данное число. К пример, вместо "тысяча триста тридцать один" скажем "куб одиннадцати".

Как вы думаете, любое ли натуральное число можно будет описать фразой из менее десяти слов?

Неинтересные числа

В блоге я часто пишу об интересных свойствах чисел. Вот, например, какие особенности имеются у 50, 196, 1444, 40585 или 13223140496.

Возникает вопрос - а у каждого ли числа имеется какое-нибудь интересное свойство? Разумеется, кроме тривиального "Число n - единственное натуральное число, лежащее между n-1 и n+1".

Утвердительно ответил на этот вопрос ещё Мартин Гарднер вот каким остроумным построением.

Рассмотрим единицу. Она, безусловно, интересна, например, тем, что является нейстральным элементом умножения или тем, что не принадлежит ни к простым, ни к составным числам.

Допустим, что некоторые числа, большие единицы, неинтересны. Но в таком случае среди множества неинтересных чисел можно найти наименьшее. Наименьшее натуральное число, не имеющее интересных особенностей - разве это не интересно?!

Таким образом, это число попадёт в категорию интересных. Возникает противоречие: только что мы относили число к неинтересным - и сразу же утверждаем, что оно интересно. Избавиться от этого противоречия можно только допустив, что неинтеренсых чисел не существует.

Все числа интересны!

Рукописный ввод формул

Вот на этой странице напишите что-нибудь мышкой и сразу же сможете получить код LaTeX для вставки в MathUrl  или вычислить значение выражения в ВольфраАльфе

Трёхзначное число

Некоторое трёхначное число записали в обратном порядке, а затем вычли из большего меньшее. В результате оказалось, что разность состоит из тех же цифр, что и исходное число.

В десятичной системе счисления ответ на задачу единственен. А в какой системе счисления есть два трёхзначных числа, удовлетворяющих условию задачи?