Как тремя двойками выразить любое целое число

Среди математических развлечений особое место занимает поиск способа получить некоторое число из заданного набора цифр. Например, эта задача легла в основу нашей математической игры с числом пи.

Часто в таких задачах ставится ограничение на используемые функции и операции. Ведь всего тремя двойками можно записать любое целое число!

Делается это так. Выражение $\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{2}}}$, где квадратный корень вложен n раз, равно $2^\frac{1}{2^n}$.

Если взять от него логарифм по основанию 2, получим:

$\log_2\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{2}}}=\log_2\left(2^\frac{1}{2^n}\right)=\frac{1}{2^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^n=2^{-n}$

Возьмём двоичный логарифм ещё раз:
$\log_2 2^{-n}=-n$

Так мы получим любое целое отрицательное число. А обратив знак - любое натуральное.

$n=-\log_2\log_2\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{2}}}$, где корень берётся n раз.

Объём додекаэдра

Как-то я публиковал ссылку на оригинальный календарь в форме додекаэдра. Очень хорошая форма для календаря: 12 граней на 12 месяцев.

Я сегодня узнал, что объём додекаэдра с ребром а вычисляется по очень красивой формуле.

$V=a^3\frac{(15+7\sqrt5)}{4}\,$

Приближение числа пи из его собственных цифр

Вчерашнее математическое развлечение в честь дня числа пи принесло много интересных приближений этого числа. А вот одно из них, использующее только 4 вида арифметических действий:

3+1/4+1/5/9*2-6/5/3/5/8-9/7/9 = 3.14158730...

Оно отличается от пи менее, чем на 0,0000054

Математические часы

В интернете часто попадаются часы с циферблатом, на котором вместо чисел от 1 до 12 написаны формулы. Я решил себе сделать что-то подобное, но чуть более оригинальное. К примеру, на каждом втором образце в сети шестёрка обозначается как 3!, хотя факториалу, как увидите у меня, можно найти более интересное применение.

Вот, что получилось:

Обратите внимание на число 12 :)

В нескольких последующих публикациях в блоге разберём содержимое этого циферблата.

Рукописный ввод формул

Вот на этой странице напишите что-нибудь мышкой и сразу же сможете получить код LaTeX для вставки в MathUrl  или вычислить значение выражения в ВольфраАльфе

Зачем понадобилось число i

Часто, когда рассказывают о комплексных числах, говорят, что они были введены в математику, чтобы любые квадратные уравнения имели решения. Однако на самом деле всё было интереснее.

Ведь и вправду, что с того, что уравнение x² + 1 = 0 не имеет корней в действительных числах?  Не имеет - так не имеет. А вот вводить новый математический объект, число i, являющееся квадратным корнем из минус единицы, понадобилось, чтобы решать кубические уравнения.

Как дискриминант для квадратных, для решения кубических уравнений используется формула Кардано. Для уравнений вида
x³ + px + q = 0

Один из корней получается по формуле


Однако, если рассмотреть уравнение
 x³ - x = 0, получим:

p = -1, q = 0


Без умения извлекать квадратные корни из отрицательный чисел, на этом этапе решение остановилось бы. Однако, легко видеть (не люблю эту фразу в решениях, но здесь и вправду легко :) ), что исходное уравнение имеет целых 3 действительных корня: -1, 0 и 1.

Если же ввести число  и доказать, что кубический корень из него равен -i:



То корень уравнения будет получен:


Интересно, что два других корня будут получены из той же самой формулы. Просто существуют ещё два разных числа, каждое из которых в кубе давать i. Это


Можете проверить, что каждое из них, будучи возведённым в куб, даст i. Использовав их на этапе извлечения кубического корня в нашем уравнении, получим оставшиеся два решения: x = 1 и x = -1

Впервые комплексные числа в математику ввёл Рафаэль Бомбелли, он также нашёл алгоритм разложения любого корня в цепную дробь.

Формула простого числа

Известно, что многочлен x²+1 не раскладывается на множители. Из этого часто делают неправильные вывод, что все числа вида n = x²+1 - простые.

Очевидный контрпример - любые нечётные x, большие единицы. Но и для чётных x, 5 = 2²+1, 17 = 4²+1, 37 = 6²+1 - простые, а вот 65 = 8²+1 - уже нет.

Преобразовать произведение синусов в сумму

Формула преобразования произведения двух синусов в сумму изучается в школе. А иногда требуется преобразовать в сумму произведение трёх синусов.

Конечно же, это можно сделать, дважды применив формулу для двух аргументов, однако формула для трёх синусов сама по себе достаточно красивая и мне захотелось привести её здесь.

На саму формулу я наткнулся в статье о целочисленных углах.

Теорема синусов

Пусть в треугольнике со сторонами a, b, c углы равны 

В треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла будет постоянным.

Кстати, обратите внимание, как расположены углы. Традиция именования углов состоит в том, что угол и сторона, обозначаемые соответственными буквами, не являются смежными.

Среднее геометрическое

Ещё один способ получить среднее для нескольких чисел - это их перемножить, а затем извлечь корень такой степени, сколько чисел перемножалось.

Что же в этом геометрического? Для двух положительных чисел a, b среднее, полученное таким методом, будет равно стороне квадрата, имеющего ту же площадь, что и прямоугольник со сторонами a и b.

Среднее геометрическое называют также средним пропорциональным, и вот почему. Рассмотрим пропорцию:

По свойству пропорции,  x² = ab, т.е. x будет являться средним геометрическим (пропорциональным) чисел a и b.

Среднее гармоническое

Решая задачу о средней скорости автобуса, мы получили значение, что находится между его наибольшей и наименьшей скоростями, но в то же время меньшее их среднего арифметического.

Выражение , по которому она была найдена, называется средним гармоническим чисел a и b. Глядя на формулу, не очевидно, что она даст некоторое число между a и b, однако это так. Здесь просто совмещены несколько шагов, которые нужно сделать, чтобы найти среднее гармоническое.

Сначала каждое из чисел a, b, нужно заменить его обратной величиной. Затем найти среднее арифметическое этих обратных величин:

И, наконец, снова выполнить переворот дроби, получая приведённую выше формулу.

Среднее гармоническое никогда не превышает среднего арифметического, и равно ему, если равны числа от которых оно берётся.

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга позволяет находить приближённое значение факториала числа n, не выполняя множество умножений.

К примеру, для n=10 она даёт 3598695,6..., а 10!=3628800

Формула подсолнуха

В 1978 году Гельмут Фогель предложил формулу, дающую расположение зёрен в подсолнухе. В ней от параметра n зависят полярные координаты зёрен: радиус-вектор и угол.

Вот какой результат даёт эта формула, когда n пробегает все натуральные значения от 1 до 500:

Вершина параболы

У параболы, которая задаётся функцией
y=ax²+bx+с
абсцисса вершины находится по формуле

Формула Герона для четырёхугольника

Как рассказал наш читатель в комментарии к посту о целочисленном треугольнике, площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле:

Здесь a, b, c, d - стороны четырёхугольника, p - его полупериметр.

Оказывается, эта формула носит имя индийского математика Брахмагупты. Легко видеть, что формула Герона является её частным случаем при d = 0.

А многим окажется полезным справочник 16 формул вычисления площади треугольника, который находится в разделе "Школьная математика" блога "Эвольвента".

Треугольник 13, 14, 15

Площадь треугольника, зная его стороны, можно найти по формуле Герона.

<

Где a, b, c - стороны треугольника, а p - полупериметр.

Для данного треугольника p=21 и формула даст в результате

Таким образом, площадь его выражается целым числом.

Другой треугольник, стороны которого - последовательные натуральные числа, а площадь целая - это египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5 и площадью 6.

Существуют ли ещё треугольники с таким свойством?

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности выражается через стороны и площадь треугольника по формуле:

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами a, b, c и площадью S вычисляется по формуле:

Сервис вставки формул

Сайт mathurl.com позволяет сформировать картинку с математической формулой для вставки на сайт, форум или блог.

Для этого нужно:
1. Сформировать необходимую формулу в почти визуальном режиме
2. Нажать кнопку make mathURL
3. К полученной ссылке приписать .png и вставлять как картинку там, где эта формула понадобится.

Формулы перевода координат со сферы на плоскость

А вот и сами формулы перевода координат из системы широта-долгота в X-Y

Расстояние от точки с широтой B и долготой L до экватора откладывается на ось Y и равно широте в градусах, помноженной на длину одного градуса меридиана, т.е. на 111,2 км
Y=111,2*B

Расстояние от нулевого меридиана откладывается на ось X и равно долготе в градусах, помноженной на длину одного градуса параллели на широте точки. А та равна 111,2cosB
X=111,2*L*cos(B)