Математические часы: 3 - целая часть интеграла.

На математических часах я сначала тройку хотел обозначить как целую часть от пи. $3=[\pi]$. Но всё-таки для чисел 3, 6, 9 и 12 лучше использовать формулы побольше (как в посте о том, как опубликовать математическую статью).

$3=\left[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\right]$

3. Несобственный интеграл
Из "больших" формул на ум приходят лимиты, суммы и интегралы. Но брать обычный определённый интеграл - это слишком мейстримно. Гораздо интереснее рассмотреть интегралы, у которых пределы - в бесконечности. Берутся они аналогично, просто при вычислении нужно использовать предельный переход.

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2} = arctg~x |_{-\infty}^{\infty}=$
$= \lim_{x \rightarrow \infty} arctg~x-\lim_{x \rightarrow -\infty} arctg~x = \frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi$

Таким образом, $3=\left[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\right]$

Формулы понижения степени

Хотя в блоге можно найти и удивительные свойста числа 2013, и математические фокусы, и магические квадраты, больше всего посетителей привлекает сюда статья о правиле выноса из-под корня.

В комментариях к ней читатели задают вопросы и по другим разделам математики. Вот, например, обсуждение формулы понижения степени достойно отдельного поста.

Итак, имеем форулу косинуса двойного угла,
cos2a = cos²a - sin²a

Прибавим к обеим частям единицу
cos2a +1 = cos²a - sin²a + cos²a + sin²a
cos2a +1 = 2cos²a

Поэтому:


Так что вместо второй степени косинуса можно использовать косинус первой степени, но удвоенного угла. Аналогично квадрат синуса можно также заменять первой степенью косинуса (просто вместо прибавления единицы на первом шаге преобразования, её надо отнять):


Возникает справедливый вопрос: а можно ли понизить третью степень косинуса или синуса? Рассуждая по аналогии, попробуем вывести нужную формулу из формул тройного угла.

cos3a = cos(2a + a) = cos2a cosa - sin2a sina = (cos²a - sin²a) cosa - 2sina cosa sina = cos³a - 3sin²a cosa = cos³a - 3(1- cos²a) cosa = 4cos³a - 3cosa

Значит, куб косинуса можно представить как:

Аналогично для куба синуса:



Для решения тригонометрических уравнений то, что после понижения степени мы получили функции от разных переменных, несколько неудобно. Но вот при интегрировании тригонометрических функций этот факт нискольrо не мешает.

Например:


Кстати, при взятиях интегралов и не только возникает нужда преобразовывать произведение тригонометрических функций в сумму. Об этом и других тригонометрических формулах есть статья-справочник в разделе "Математика в школе" блога "Эвольвента"

Факториал дробных чисел

Вычислим факториалы нескольких натуральных чисел и отметим точки (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24) и т.д.на прямоугольной системе координат.

Что если попробовать плавной линией соединить эти точки и найти функцию, график которой имел бы такой вид? Тогда можно было бы вычислять факториал от любых чисел, не только от натуральных.

Об этом математики задумались в начале XVIII века. Если такая функция f(x) существует, она должна удовлетворять условию f(x) = x f(x-1), т.е. рекурсивному определению факториала. В 1729 году Леонард Эйлер нашёл способ получить факториал в виде бесконечного произведения, в которое в качестве аргумента можно было подставлять и дробные числа.



Вот как будет работать эта формула для n = 4, например:



Сходится произведение довольно медленно, я проверил в Экселе. Для того, чтобы произведение превысило 23, нужно взять 139 множителей, а чтобы добраться до 23,5, множителей нужно уже 283. На 1435-м шагу произведение доходит до 23,4, ну а в бесконечности будет равно 24

Я выложил лист для вычисления факториала в гугл доки. Меняете n и смотрите, к чему будут стремиться частичные произведения.

Чуть позже Эйлер выразил факториал в виде несобственного интеграла:


Применим к нему метод интегрирования частями, взяв u = (-ln x)ⁿ, dv = dx:



Требуемое свойство выполняется.

Заменой t = −ln x этот интеграл принимает используемый в настоящее время вид и известен как гамма-функция.



Аргументами её могут быть не только дробные или даже отрицательные числа, но и комплексные.








Для натуральных аргументов Г(n) = (n-1)!

Шотландский математик Джеймс Стирлинг был современником Эйлера и вывел формулу, позволяющую приближённо вычислять факториал для больших чисел.

А вот как я использовал факториал на математических часах.

Интегрирование обратной величины

Красивое доказательство того, что производная логарифма - это величина, обратная аргументу, показал Денис Сепетов:

Попробуем взять интеграл

, 

При этом мы "не знаем", что это натуральный логарифм. Будем действовать иначе.

Сделаем замену переменной: x = e^t, dx = e^tdt

Получится простой интеграл:

Теперь вернувшись к подстановке получаем, что t = lnx.

Кстати, а если брать тот же самый интеграл другим методом, можно получить интересный софизм.

Пригодилось!

Профессор встречает своего выпускника и интересуется:
- Ну как, вам в жизни пригодилась высшая математика?
- Конечно же! Помнится, однажды с меня ветром сорвало шляпу и та упала посредине лужи. Я вспомнил ваши занятия, согнул проволоку в виде интеграла и вытащил шляпу!

Символ интеграла

Символ интеграла образован вытягиванием буквы S (от латинского слова summa). Такое обозначение ввёл Лейбниц, а Фурье предложил писать пределы интегрирования над и под знаком.

Крючки

Отец - сыну:
- Почему ты так неровно пишешь крючки?
- Это не крючки, папа, это интегралы.

Нарочно не придумаешь

Вот какую задачу предлагается решить одиннадцатиклассникам при изучении темы Интегралы:

"Скорость движения точки задана уравнением v=3cos t (м/с). Найти уравнение движения, если в начальный момент времени точка находилась на расстоянии 2 м от начального положения."

Понятно, что авторы имели в виду, что x₀=2 (м), однако такая формулировка задачи заставляет представлять точку, которая в начале движения отстоит от самой себя на 2 метра! о_О Это уже квантовая механика получается - в ней, согласно принципу неопределённости, невозможно, однозначно определив импульс частицы, точно установить её координаты. :)

0=1

По формуле интегрирования частями

Применим её для вычисления интеграла

Подставим

Тогда

Таким образом,

И, вычтя из левой и правой части равенства по исходном интегралу, получим:

0=1