2011

2011 - простое число. Поэтому оно представляется в виде разности квадратов натуральных чисел единственным образом: 2011²=1006²-1005²

Желаем вам, чтобы в новом году все задачи решались просто и легко :)

Самый длинный месяц

Самый длинный месяц у нас - это октябрь.Из-за перевода часов он на час длиннее остальных месяцев, в которых по 31 дню.

Формула площади

Площадь треугольника можно вычислить, зная его углы и радиус описанной окружности по формуле:
S=2R²sin A sin B sin C

Фрактал

Делимость на 3 и 9

Читатель нашего блога segagenesis предложил в качестве темы признаки делимости на 3 и 9. Если сумма цифр в числе кратна трём, то это число делится на три. тоже самое и для девятки.

Почему это работает?

Пусть у нас есть (n+1)-значное число a_na_n-1...a₅a₄a₃a₂a₁a₀. Его можно записать как a_n10ⁿ+a_n-110^n-1+...+a₅10⁵+a₄10⁴+a₃10³+a₂10²+a₁10+a₀=

=a_n(999...999+1)+a_n-1(999...99+1)+...+a₅(99999+1)+a₄(9999+1)+a₃(999+1)+a₂(99+1)+a₁(9+1)+a₀=

=999...999a_n+999...99a_n-1+...+99999a₅+9999a₄+999a₃+99a₂+9a₁+
+a_n+a_n-1+...+a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a₀

Поскольку все слагаемые, в которых есть множитель, состоящий из девяток, делятся на 9, то делится или не делится исходное число на 9 или на 3 зависит только от того, делится ли на 9 или на 3 сумма его цифр.

495

Как мы уже писали, число 6174 является неподвижной точкой преобразования Капрекара для четырёхзначных чисел.

Для трёхзначных же таковым является число 495. Берём любое 3-значное число и из его цифр составляем 2 числа: с цифрами, идущими по возрастанию и идущими по убыванию. Затем вычитаем из первого второе.

512:

521-125=396

963-369=594

954-459=495

А вот для преобразований 5-значных чисел неподвижных точек нет.

Расстояние между степенями

Существует ровно 3 пары натуральных чисел, одно из которых является степенью двойки, а другое - степенью тройки, расстояние между которыми равно 1.
Это 1 и 2; 2 и 3; 8 и 9.

2

2 - единственное чётное простое число. Иногда это свойство называют незначительным, потому что тогда для любого простого p - это единственное простое, делящееся на p.

Однако свойства чётности чисел применяется в намного большем круге задач, нежели делимость на какое-нибудь другое число. И, кроме того, все нечётные, т.е. не делящиеся на 2 числа дают одинаковый остаток. Этого нельзя сказать ни про какое другое число.

Число b

Именно буквой b обозначал Лейбниц число e в конце XVII века.

Коммутативность

С первого класса мы учим, что "от перемены мест слагаемых сумма не меняется". По научному такое свойство операции сложения называется коммутативностью. a+b=b+a.

Коммутативно и умножение действительных (да и комплексных) чисел: axb=bxa. А вот операция возведения в степень - некоммутативна. К примеру, 3²=9, а 2³=8.

Логарифм

Человек воспринимает ощущения не пропорционально величине раздражителя, а пропорционально его логарифму. Так, например, субъективное различие между грузами в 1 кг и 2 кг будет таким же, как между 2 кг и 4 кг.

Перекладывание карт

Рассмотрим колоду из N карт с номерами от 1 до N. если номер верхней карты равен K, поменяем порядок K верхних карт на обратный. Будем поступать так, пока на верх не выйдет единица.

Для 5 карт дольше всего перекладываний (7) будет для колоды 3, 1, 4, 5, 2

31452
41352
53142
24135
42135
31245
21345
12345

Перестановка цифр

Т.к. это 185-й пост, я захотел найти что-то интересное про это число в Энциклопедии целочисленных последовательностей. Там наткнулся на любопытную последовательность, членом которой оно является. Последовательность строится так:

Начнём с единицы. Каждое следующее число будем получать, прибавив 4 к предыдущему числу, записанному в обратном порядке. Таким образом, из 1 получим 1+4=5, далее 5+4=9, 9+4=13, 31+4=35, 53+4=57, 75+4=79, 79+4=101, 101+4=105, 501+=505, 505+4=509, 905+4=909, 909+4=913, 319+4=323 и т.д.

56-й член данной последовательности снова будет равен пяти и она зациклится.

Интересно, существуют ли последовательности, построенные по аналогичному правилу, но с прибавлением отличного от четвёрки числа, которые растут неограниченно? Мне пока кажется, что таких нет, но определённо, стоит ещё подумать об этом.

е в США

Оказывается, в США число е запоминают через президента Эндрю Джексона

Он избирался дважды (2), был седьмым президентом (7), избирался в 1828 году, это число повторяется дважды, т.к. он 2 раза был президентом, а затем идёт равнобедренный прямоугольный треугольник (459045).

Сколько в году секунд

Если в году 365,25 суток, в сутках по 24 часа, в часе 3600 секунд, то в секунд в году 31 557 600. Для приближённых вычислений часто пользуются значением

По этому поводу есть шутка:

В году приблизительно пи на десять в седьмой секунд. Пи - потому что орбита круглая, в седьмой - потому что в неделе семь дней. А приблизительно - потому, что орбита на самом деле не идеально круглая, а эллиптическая.

Зима пришла!

Зима наступила, хочется снега, очень хочется. Ещё в начале года писал программу, которая для Windows XP заметает снегом рабочий стол. Самое главное, что отличает мою программу от аналогов - движение мыши создаёт потоки воздуха, которые увлекают снежинки за собой. Поэтому можно самостоятельно направлять рост снежных узоров, к примеру, создавая вихри, скатывая снежки и прикрепляя их в нужном месте.

Вот как выглядит окно после некоторого времени падения снежинок:



Скачать программу Interactive Desktop Snowfall for Windows XP, freeware, 600KB