Матрицы с нулевым определителем

Ещё одна задачка про матрицы. Рассмотрим матрицы 3х3, элементами которых могут быть только нули, единицы и двойки. Всего таким матриц будет не особо много: $3^9 = 19 683$

Вопрос: у скольких из них определитель будет равен нулю?

Напомним: определитель матрицы

$\begin{pmatrix} a_{11} & a{12} & a{13} \\ a_{21} & a{22} & a{23} \\ a_{31} & a{32} & a{33} \end{pmatrix}$

равен разности двух сумм:

$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}$ минус  $a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{23}a_{32}a_{11}$

Матрица, да возведения которой в квадрат достаточно удвоить цифры во всех её компонентах

 Триттер https://twitter.com/FlammableMaths опубликовал интересную матрицу:

 

 Приглашаем вас проверить, что это действительно так.

Семёрка на математических часах - определитель матрицы

На математических часах вместо семёрки находится формула $\begin{vmatrix}i \lg 10&-2\\ \sqrt{16}&i\end{vmatrix}$.

Это определитель матрицы, элементы которой, в свою очередь задаются через логарифмы, корни и мнимую единицу. Посмотрим, как он вычисляется.

7 - Определитель

Матрица - это особый математический объект, Нео :) Она представляет собой прямоугольную таблицу с числами. Кстати, n-мерный ветор тоже можно рассматривать как матрицу размером 1 x n.

Матрицы можно умножать на число, складывать между собой (если они одинакового размера) или перемножать (если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй).

Особый интерес представляют квадратные матрицы, так как через них можно достаточно просто выразить, например, решение систем линейных уравнений или расчёт параметров отрисовки объектов в 3D-играх. Для квадратных матриц можно вычислить определитель.

Определитель матрицы 2х2 вычисляется по формуле:
$\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix} = ad-bc$

А для матрицы 3х3 формула будет такой:
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\\-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{22}a_{32}$

В нашем случае, получаем:
$\begin{vmatrix}i \lg 10&-2\\ \sqrt{16}&i\end{vmatrix} = i \lg 10 \cdot i - (-2)\cdot \sqrt{16} =  i \cdot i+2\cdot 4 = -1+8 = 7$

Умножение матриц

Матрицы можно перемножать только тогда, когда у первого множителя столько же столбцов, сколько строк у второго. Результат будет иметь столько строк, сколько первый множитель, и столько столбцов, сколько второй.

Принцип умножения можно увидеть из примера:


Результат умножение зависит от порядка множителей. Как видите, в данном случае при ином их порядке оно окажется вообще невозможным.

Что такое матрицы

Сначала в школе изучаются числа и действия над ними. Затем выясняется, что существуют векторы, описываемые парой, тройкой, или, в общем случае, несколькими числами. И эти векторы также можно складывать, вычитать, и перемножать (даже целыми двумя способами).

F матрица - это объект, представляющий собой таблицу из чисел. Матрицы также можно складывать, вычитать и умножать. Складывать и вычитать можно матрицы, у которых совпадают размеры. Для этого достаточно сложить их соответстсвующие элементы.

Например,