Семёныч пополнил Кладовую числовых диковинок удивительными равенствами, в готорых номер наступающего года получается из цифр 2, 0, 1 и 4 в этом порядке:
2014=20×14×(2+0+1+4)+(20+14)×2-(0+14)
2014=(201+4)×2-0-1×4+201×4+201×4
2014=201×4-201×4/2×0!×1+4+201×4+201×4
Интересные числа, занимательные математические факты и удивительные конструкции. Узнавайте каждый день что-то новое!
понедельник, 30 декабря 2013 г.
воскресенье, 29 декабря 2013 г.
Разность простого и составного
Семёныч, ведущий раздела "Кладовая числовых диковинок" на Назве, нашёл поистине замечательное свойство числа 2014. Оказывается, оно является ращностью между 365-м простым числом ии 365-м составным числом.
2014 = 2467 - 453
2014 = 2467 - 453
суббота, 28 декабря 2013 г.
Избыточность числа 2014
Если избыточными числами называть те, которые меньше суммы всех своих собственных делителей, то число 2014 - не избыточно:
2014 > 1 + 2 + 19 + 38 + 53 + 106 + 1007
А по определению из этого поста, связанного с количеством цифр в простых множителях, число 2014 - избыточно, т.к. цифр в записи 2х19х53 пять, а не четыре.
Интересно, является ли число 2014 избыточным с лингвистической точки зрения? Можно ли вместо "две тысячи четырнадцать" (21 буква) обойтись более короткой фразой, однозначно определяющей данное число? Разумеется, фраза должна указывать на число 2014 независимо от даты на календаре, так что "следующий год" (12 букв) не подойдёт.
2014 > 1 + 2 + 19 + 38 + 53 + 106 + 1007
А по определению из этого поста, связанного с количеством цифр в простых множителях, число 2014 - избыточно, т.к. цифр в записи 2х19х53 пять, а не четыре.
Интересно, является ли число 2014 избыточным с лингвистической точки зрения? Можно ли вместо "две тысячи четырнадцать" (21 буква) обойтись более короткой фразой, однозначно определяющей данное число? Разумеется, фраза должна указывать на число 2014 независимо от даты на календаре, так что "следующий год" (12 букв) не подойдёт.
пятница, 27 декабря 2013 г.
Самое большое число
Самое большое число, которое можно составить исключительно из цифр 2, 0, 1, 4 и только из них, будет
$2^{4^{10}}$
$2^{4^{10}}$
вторник, 24 декабря 2013 г.
Цифры 2, 0, 1, 4
Перед новым годом на математических форумах играют в такую игру. Нужно из цифр номера года (0, 1, 2, 4) с помощью математических действий получить натуральные числа 1, 2, 3 и т.д.
Допускается использовать знаки +, -, х, :, корень, возведение в степень, скобки, "склеивание" цифр в число.
Так как среди четырёх цифр есть ноль, поначалу задача довольно простая:
1 = 1 + 2х0х4
2 = 2 + 1х0х4
3 = 1 + 2 + 0х4
4 = 4 + 2х0х1
5 = 4 + 1 + 2х0
6 = 4 + 2 + 1х0
7 = 1 + 2 + 4 + 0
8 = 2х4 + 1х0
9 = 2х4 + 1 + 0
$10 = 12-\sqrt{2}+0$
Кто сможет продолжить?
Допускается использовать знаки +, -, х, :, корень, возведение в степень, скобки, "склеивание" цифр в число.
Так как среди четырёх цифр есть ноль, поначалу задача довольно простая:
1 = 1 + 2х0х4
2 = 2 + 1х0х4
3 = 1 + 2 + 0х4
4 = 4 + 2х0х1
5 = 4 + 1 + 2х0
6 = 4 + 2 + 1х0
7 = 1 + 2 + 4 + 0
8 = 2х4 + 1х0
9 = 2х4 + 1 + 0
$10 = 12-\sqrt{2}+0$
Кто сможет продолжить?
понедельник, 23 декабря 2013 г.
Разность и сумма дробей
Разложение числа 2014 на простые множители поможет ответить и на вопрос, сколькими способами аликвотную дробь $\frac{1}{2014}$ можно представить в виде суммы или разности двух аликвотных дробей.
Составим диофантово уравнение:
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{2014}$
$\frac{y-x}{xy}=\frac{1}{2014}$
2014y - 2014x = xy
(2014-x)y = 2014x
$y = \frac{2014 x}{2014-x}$
Так как слева - натуральное число, то и справа число должно быть натуральным. Во-первых, такое возможно, если разность 2014 - х окажется равным одному из делителей числа 2014: 1, 2, 19, 38, 53, 106 или 1007. Это даёт пары решений (х,у):
(2013,4054182);
(2012,2026084);
(1995,211470);
(1976,104728);
(1961,74518);
(1908,36252);
(1007,2014).
Однако, все ли это решения? Нет, ведь, например, при x = 2010 знаменатель дроби $y = \frac{2014 x}{2014-x}$ тоже сократится полностью. Так как же найти, сколькими способами можно представить дробь $\frac{1}{2014}$ в виде разности двух аликвотных дробей, не прибегая к полному перебору?
Для этого введём замену d = 2014 - x. Тогда выражение для y обретёт вид:
$y = \frac{2014 (2014-d)}{d}=\frac{2014^2-2014d}{d}=\frac{2014^2}{d}-2014$
Таким образом, число d должно быть делителем числа $2014^2$ и быть меньше числа 2014. Всего для него 13 вариантов:
1, 2, 4, 19, 38, 53, 76, 106, 212, 361, 722, 1007, 1444
Что даёт следующие равенства:
$\frac{1}{2014}=\frac{1}{2013}-\frac{1}{4054182}=\frac{1}{2012}-\frac{1}{2026084}= \frac{1}{2010}-\frac{1}{1012035}=\\
=\frac{1}{1995}-\frac{1}{211470}=\frac{1}{1976}-\frac{1}{104728}=\frac{1}{1961}-\frac{1}{74518}=\\
=\frac{1}{1938}-\frac{1}{51357}=\frac{1}{1908}-\frac{1}{36252}=\frac{1}{1802}-\frac{1}{17119}=\\
=\frac{1}{1653}-\frac{1}{9222}=\frac{1}{1292}-\frac{1}{3604}=\frac{1}{1007}-\frac{1}{2014}=\frac{1}{570}-\frac{1}{795}$
А найти, сколькими способами число $\frac{1}{2014}$ представляется в виде суммы аликвотных дробей предлагаем вам самостоятельно. Будет хорошая тренировка перед математическими олимпиадами этого года.
Составим диофантово уравнение:
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{2014}$
$\frac{y-x}{xy}=\frac{1}{2014}$
2014y - 2014x = xy
(2014-x)y = 2014x
$y = \frac{2014 x}{2014-x}$
Так как слева - натуральное число, то и справа число должно быть натуральным. Во-первых, такое возможно, если разность 2014 - х окажется равным одному из делителей числа 2014: 1, 2, 19, 38, 53, 106 или 1007. Это даёт пары решений (х,у):
(2013,4054182);
(2012,2026084);
(1995,211470);
(1976,104728);
(1961,74518);
(1908,36252);
(1007,2014).
Однако, все ли это решения? Нет, ведь, например, при x = 2010 знаменатель дроби $y = \frac{2014 x}{2014-x}$ тоже сократится полностью. Так как же найти, сколькими способами можно представить дробь $\frac{1}{2014}$ в виде разности двух аликвотных дробей, не прибегая к полному перебору?
Для этого введём замену d = 2014 - x. Тогда выражение для y обретёт вид:
$y = \frac{2014 (2014-d)}{d}=\frac{2014^2-2014d}{d}=\frac{2014^2}{d}-2014$
Таким образом, число d должно быть делителем числа $2014^2$ и быть меньше числа 2014. Всего для него 13 вариантов:
1, 2, 4, 19, 38, 53, 76, 106, 212, 361, 722, 1007, 1444
Что даёт следующие равенства:
$\frac{1}{2014}=\frac{1}{2013}-\frac{1}{4054182}=\frac{1}{2012}-\frac{1}{2026084}= \frac{1}{2010}-\frac{1}{1012035}=\\
=\frac{1}{1995}-\frac{1}{211470}=\frac{1}{1976}-\frac{1}{104728}=\frac{1}{1961}-\frac{1}{74518}=\\
=\frac{1}{1938}-\frac{1}{51357}=\frac{1}{1908}-\frac{1}{36252}=\frac{1}{1802}-\frac{1}{17119}=\\
=\frac{1}{1653}-\frac{1}{9222}=\frac{1}{1292}-\frac{1}{3604}=\frac{1}{1007}-\frac{1}{2014}=\frac{1}{570}-\frac{1}{795}$
А найти, сколькими способами число $\frac{1}{2014}$ представляется в виде суммы аликвотных дробей предлагаем вам самостоятельно. Будет хорошая тренировка перед математическими олимпиадами этого года.
воскресенье, 22 декабря 2013 г.
Последовательность составных чисел
Составные числа - те, у которых больше двух делителей. Первое составное число - 4.
4е составное число - 9.
9е составное число - 16
16е составное - 26
Продолжив последовательность по этому принципу, будем получать:
39, 56, 78, 106, 141, 184, 236, 299, 374, 465, 570, 696, 843, 1014, 1212, 1441, 1708,
И, наконец, номер наступающего года: 2014. Это 1708-е составное число.
4е составное число - 9.
9е составное число - 16
16е составное - 26
Продолжив последовательность по этому принципу, будем получать:
39, 56, 78, 106, 141, 184, 236, 299, 374, 465, 570, 696, 843, 1014, 1212, 1441, 1708,
И, наконец, номер наступающего года: 2014. Это 1708-е составное число.
суббота, 21 декабря 2013 г.
Разность треугольных чисел
С представлением числа 2014 в виде разности квадратов не получилось. Но может получиться треугольными числами.
Треугольное число описывается формулой $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$. Из $T_n$ монет можно выложить треугольник со стороной n.
Итак, пусть число 2014 представляется разностью треугольных чисел:
$T_x-T_y=2014$
$\frac{x(x+1)}{2}-\frac{y(y+1)}{2}=2014$
$x^2+x-y^2-y=4028$
$(x-y)(x+y)+(x-y)=4028$
$(x-y)(x+y+1)=4028$
Здесь число 4028 представляется в виде произведения двух натуральных чисел разной чётности. Это возможно сделать следующими способами:
4028 = 1х4028 = 19х212 = 53x76 = 4x1007
Для каждого из способов будет одно решение уравнения. В итоге имеем:
$2014 = T_{2014}-T_{2013} = T_{115}-T_{96}=T_{64}-T_{117}=T_{505}-T_{509}$
Треугольное число описывается формулой $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$. Из $T_n$ монет можно выложить треугольник со стороной n.
Итак, пусть число 2014 представляется разностью треугольных чисел:
$T_x-T_y=2014$
$\frac{x(x+1)}{2}-\frac{y(y+1)}{2}=2014$
$x^2+x-y^2-y=4028$
$(x-y)(x+y)+(x-y)=4028$
$(x-y)(x+y+1)=4028$
Здесь число 4028 представляется в виде произведения двух натуральных чисел разной чётности. Это возможно сделать следующими способами:
4028 = 1х4028 = 19х212 = 53x76 = 4x1007
Для каждого из способов будет одно решение уравнения. В итоге имеем:
$2014 = T_{2014}-T_{2013} = T_{115}-T_{96}=T_{64}-T_{117}=T_{505}-T_{509}$
пятница, 20 декабря 2013 г.
Простые числа и разность квадратов
Пора бы уже, по традиции, собирать интересные факты о номере наступающего года: 2014.
Начнём с того, что это число раскладывается на простые множители так:
$2014=2\times 19\times 53$
Обычно сразу после этого факта я пишу, сколькими способами его можно представить в виде разности квадратов, но сейчас хочу пояснить подробнее, какая связь между этими способами и простыми множителями числа.
Итак, пусть для некоторых натуральных х и у:
$x^2-y^2=2014$
Левая часть раскладывается на множители по формуле разности квадратов:
(x-y)(x+y) = 2014
Заметим, что выражения х-у и х+у, как сумма и разность двух натуральных чисел, имеют одинаковую чётность. Поэтому, чтобы найти все возможные решения, попробуем число 2014 представить в виде произведения двух натуральных чисел одинаковой чётности.
А вот это как раз невозможно. Ведь среди простых делителей числа 2014 только одна двойка, и, как бы мы ни группировали их в два множителя, один будет чётным, другой - нечётным.
Начнём с того, что это число раскладывается на простые множители так:
$2014=2\times 19\times 53$
Обычно сразу после этого факта я пишу, сколькими способами его можно представить в виде разности квадратов, но сейчас хочу пояснить подробнее, какая связь между этими способами и простыми множителями числа.
Итак, пусть для некоторых натуральных х и у:
$x^2-y^2=2014$
Левая часть раскладывается на множители по формуле разности квадратов:
(x-y)(x+y) = 2014
Заметим, что выражения х-у и х+у, как сумма и разность двух натуральных чисел, имеют одинаковую чётность. Поэтому, чтобы найти все возможные решения, попробуем число 2014 представить в виде произведения двух натуральных чисел одинаковой чётности.
А вот это как раз невозможно. Ведь среди простых делителей числа 2014 только одна двойка, и, как бы мы ни группировали их в два множителя, один будет чётным, другой - нечётным.
Подписаться на:
Сообщения (Atom)
Популярные сообщения
-
Если вы хотите проверить, содержится ли ваш телефон, год рождения или номер дома среди уже вычисленных знаков числа пи, воспользуйтесь этой ...
-
Приведённые квадратные уравнения легко решать по теореме Виета. Достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному член...
-
Как рассказал наш читатель в комментарии к посту о целочисленном треугольнике , площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляе...
-
Вычислим факториалы нескольких натуральных чисел и отметим точки (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24) и т.д.на прямоугольной системе координат...
-
Способ разложения числа в цепную дробь с помощью калькулятора имеет ограничения точности. Но, оказывается, для квадратных корней существуе...
-
Многих школьников, и не только, занимает вопрос: почему умножение и деление выполняются до сложения и вычитания? В рунете на этот вопрос н...
-
Для числа 12 на математических часах я выбрал одну их наиболее парадоксальных формул, согласно которой сумма всего бесконечного множества на...
-
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся пятёркой, нужно умножить число, полученное отбрасыванием последней пятёрки на следующее в нат...
-
на клетчатом листе можно легко нарисовать параболу. Для этого сначала отмечаем точку - вершину параболы. Затем ставим новые точки, двигаясь ...
-
Давайте начнём новый, 2022й год с интересной задачи. Рассмотрим квадратную таблицу. Попробуем её заполнить натуральными числами так, чтобы с...
Темы
число
цифра
простые
геометрия
юмор
дроби
язык
степень
делимость
пи
методы
история
квадрат
самоописывающее
время
задача
система счисления
узор
корень
тригонометрия
структура
е
сайты
конструкция
формулы
игра
факториал
функции
приближение
программа
фрактал
комбинаторика
последовательность
график
память
логарифм
вероятность
палиндром
пределы
конкурс
треугольник
магический квадрат
неизвестное
правильно-неправильное действие
видео
интеграл
уравнение
комплексные
софизм
заблуждения
процесс
ряды
цитаты
книги
окружность
прогрессия
среднее
стереометрия
число фи
выражения
графы
матрица
проценты
разрезания
логика
парабола
символ
статистика
2014
Фибоначчи
клеточный автомат
кривая
производная
фокус
головоломка
действия
иллюзия
куб
шахматы
многоугольник
новости
оказывается
оригами
подобие
построение
сложение
термин
тетраэдр
топология