2014 из собственных цифр

Семёныч пополнил Кладовую числовых диковинок удивительными равенствами, в готорых номер наступающего года получается из цифр 2, 0, 1 и 4 в этом порядке:

2014=20×14×(2+0+1+4)+(20+14)×2-(0+14)
2014=(201+4)×2-0-1×4+201×4+201×4
2014=201×4-201×4/2×0!×1+4+201×4+201×4

Разность простого и составного

Семёныч, ведущий раздела "Кладовая числовых диковинок" на Назве, нашёл поистине замечательное свойство  числа 2014. Оказывается, оно является ращностью между 365-м простым числом ии 365-м составным числом.

2014 = 2467 - 453

Избыточность числа 2014

Если избыточными числами называть те, которые меньше суммы всех своих собственных делителей, то число 2014 - не избыточно:

2014 > 1 + 2 + 19 + 38 + 53 + 106 + 1007

А по определению из этого поста, связанного с количеством цифр в простых множителях, число 2014 - избыточно, т.к. цифр в записи 2х19х53 пять, а не четыре.

Интересно, является ли число 2014 избыточным с лингвистической точки зрения? Можно ли вместо "две тысячи четырнадцать" (21 буква) обойтись более короткой фразой, однозначно определяющей данное число? Разумеется, фраза должна указывать на число 2014 независимо от даты на календаре, так что "следующий год" (12 букв) не подойдёт.

Самое большое число

Самое большое число, которое можно составить исключительно из цифр 2, 0, 1, 4 и только из них, будет
$2^{4^{10}}$

Цифры 2, 0, 1, 4

Перед новым годом на математических форумах играют в такую игру. Нужно из цифр номера года (0, 1, 2, 4) с помощью математических действий получить натуральные числа 1, 2, 3 и т.д.

Допускается использовать знаки +, -, х, :, корень, возведение в степень, скобки, "склеивание" цифр в число.

Так как среди четырёх цифр есть ноль, поначалу задача довольно простая:

1 = 1 + 2х0х4
2 = 2 + 1х0х4
3 = 1 + 2 + 0х4
4 = 4 + 2х0х1
5 = 4 + 1 + 2х0
6 = 4 + 2 + 1х0
7 = 1 + 2 + 4 + 0
8 = 2х4 + 1х0
9 = 2х4 + 1 + 0
$10 = 12-\sqrt{2}+0$

Кто сможет продолжить?

Разность и сумма дробей

Разложение числа 2014 на простые множители поможет ответить и на вопрос, сколькими способами аликвотную дробь $\frac{1}{2014}$ можно представить в виде суммы или разности двух аликвотных дробей.

Составим диофантово уравнение:
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{2014}$

$\frac{y-x}{xy}=\frac{1}{2014}$

2014y - 2014x = xy

(2014-x)y = 2014x

$y = \frac{2014 x}{2014-x}$

Так как слева - натуральное число, то и справа число должно быть натуральным. Во-первых, такое возможно, если разность 2014 - х окажется равным одному из делителей числа 2014: 1, 2, 19, 38, 53, 106 или 1007. Это даёт пары решений (х,у):
(2013,4054182);
(2012,2026084);
(1995,211470);
(1976,104728);
(1961,74518);
(1908,36252);
(1007,2014).

Однако, все ли это решения? Нет, ведь, например, при x = 2010 знаменатель дроби $y = \frac{2014 x}{2014-x}$ тоже сократится полностью. Так как же найти, сколькими способами можно представить дробь $\frac{1}{2014}$ в виде разности двух аликвотных дробей, не прибегая к полному перебору?

Для этого введём замену d = 2014 - x. Тогда выражение для y обретёт вид:

$y = \frac{2014 (2014-d)}{d}=\frac{2014^2-2014d}{d}=\frac{2014^2}{d}-2014$

Таким образом, число d должно быть делителем числа $2014^2$ и быть меньше числа 2014. Всего для него 13 вариантов:
1, 2, 4, 19, 38, 53, 76, 106, 212, 361, 722, 1007, 1444

Что даёт следующие равенства:
$\frac{1}{2014}=\frac{1}{2013}-\frac{1}{4054182}=\frac{1}{2012}-\frac{1}{2026084}= \frac{1}{2010}-\frac{1}{1012035}=\\
=\frac{1}{1995}-\frac{1}{211470}=\frac{1}{1976}-\frac{1}{104728}=\frac{1}{1961}-\frac{1}{74518}=\\
=\frac{1}{1938}-\frac{1}{51357}=\frac{1}{1908}-\frac{1}{36252}=\frac{1}{1802}-\frac{1}{17119}=\\
=\frac{1}{1653}-\frac{1}{9222}=\frac{1}{1292}-\frac{1}{3604}=\frac{1}{1007}-\frac{1}{2014}=\frac{1}{570}-\frac{1}{795}$

А найти, сколькими способами число $\frac{1}{2014}$ представляется в виде суммы аликвотных дробей предлагаем вам самостоятельно. Будет хорошая тренировка перед математическими олимпиадами этого года.

Последовательность составных чисел

Составные числа - те, у которых больше двух делителей. Первое составное число - 4.
4е составное число - 9.
9е составное число - 16
16е составное - 26

Продолжив последовательность по этому принципу, будем получать:
39, 56, 78, 106, 141, 184, 236, 299, 374, 465, 570, 696, 843, 1014, 1212, 1441, 1708,

И, наконец, номер наступающего года: 2014. Это 1708-е составное число.

Разность треугольных чисел

С представлением числа 2014 в виде разности квадратов не получилось. Но может получиться треугольными числами.

Треугольное число описывается формулой $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$. Из $T_n$ монет можно выложить треугольник со стороной n.

Итак, пусть число 2014 представляется разностью треугольных чисел:
$T_x-T_y=2014$

$\frac{x(x+1)}{2}-\frac{y(y+1)}{2}=2014$

$x^2+x-y^2-y=4028$

$(x-y)(x+y)+(x-y)=4028$

$(x-y)(x+y+1)=4028$

Здесь число 4028 представляется в виде произведения двух натуральных чисел разной чётности. Это возможно сделать следующими способами:

4028 = 1х4028 = 19х212 = 53x76 = 4x1007

Для каждого из способов будет одно решение уравнения. В итоге имеем:
$2014 = T_{2014}-T_{2013} = T_{115}-T_{96}=T_{64}-T_{117}=T_{505}-T_{509}$

Простые числа и разность квадратов

Пора бы уже, по традиции, собирать интересные факты о номере наступающего года: 2014.
Начнём с того, что это число раскладывается на простые множители так:

$2014=2\times 19\times 53$

Обычно сразу после этого факта я пишу, сколькими способами его можно представить в виде разности квадратов, но сейчас хочу пояснить подробнее, какая связь между этими способами и простыми множителями числа.

Итак, пусть для некоторых натуральных х и у:
$x^2-y^2=2014$

Левая часть раскладывается на множители по формуле разности квадратов:
(x-y)(x+y) = 2014

Заметим, что выражения х-у и х+у, как сумма и разность двух натуральных чисел, имеют одинаковую чётность. Поэтому, чтобы найти все возможные решения, попробуем число 2014 представить в виде произведения двух натуральных чисел одинаковой чётности.

А вот это как раз невозможно. Ведь среди простых делителей числа 2014 только одна двойка, и, как бы мы ни группировали их в два множителя, один будет чётным, другой - нечётным.