Сумма восьми квадратов

Существует ровно 2016 способов представить число 5 в виде суммы восьми квадратов целых чисел. Почему так много? Давате подсчитаем.

Для начала, есть основных 2 способа представить число 5 в виде суммы восьми слагаемых, каждое из которых является квадратом (и мы не учитываем перестановку слагаемых).
Это:

5 = 4+1+0+0+0+0+0+0
5=1+1+1+1+1+0+0+0

Теперь учтём перестановку слагаемых. В первом способе место для четвёрки можно выбрать 8-ю способами, и место для единицы - 7-ю способами. Итогог он нам даёт 56 расстановок слагаемых.

Со втором способе места для единиц можно выбрать $C_8^5$ (или, что то же самое, места для нулей можно выбрать $C_8^3$) способами, что составит ещё 56 способов.

Теперь учтём, что 4 может быть квадратом как числа 2, так и числа -2. Аналогично и с единицей: 1=1²=(-1)².

Учёт знака числа, возможимого в квадрат, увеличит число способов для первого представления в 4 раза, а для второго - в 32 раза. Таким образом, итоговый результат равен:
56*4+56*32 = 56*36 = 2016 способов

2016 - константа магического квадрата

Можно выбрать 64 последовательных простых числа так, чтобы из них можно было построить магический квадрат. Это можно сделать многими способами, а минимальная константа такого квадрата (т.е. сумма чисел в каждой вертикали, горизонтали и диагонали) будет равна 2016.

103	113	131	409	349	421	197	293
389	331	397	97	193	263	179	167
109	433	439	199	127	101	241	367
137	373	353	163	359	211	229	191
311	181	149	419	79	271	223	383
157	269	151	277	401	337	317	107
379	83	307	313	251	173	283	227
431	233	89	139	257	239	347	281

Этот результат получила Наталия Макарова.

Треугольное и шестиугольное число 2016

Число 2016 вляется треугольным и шестиугольным.
2016 монет можно разложить в виде равностороннего треугольника со стороной 63 и в виде шестиугольника со стороной 32.

2016 является также 24-угольным числом, ему соответстсвует 24-угольник со стороной 14.

Практичное число 2016

За пару месяцев доНового Года начнём собирать интересные свойтсва числа 2016.

Вот все 36 делителей числа 2016:
2016 =
1 x 2016
2 x 1008
3 x 672
4 x 504
6 x 336
7 x 288
8 x 252
9 x 224
12 x 168
14 x 144
16 x 126
18 x 112
21 x 96
24 x 84
28 x 72
32 x 63
36 x 56
42 x 48

Оказывается, любое число, меньшее 2016, может быть представлено в виде суммы некоторых его делителей. Числа с таким свойством называются практичными. Предыдущим практичным номером года был 2010.

Немного подумав, приходим к выводу, что складывая делители практичного числа n можно получить любое число от 1 до 2n-1. А для числа 2016 можно пойти ещё дальше. К примеру:

4032 = 2016+1008+672+336
4033 = 2016+1008+672+336+1
4034 = 2016+1008+672+336+2
4035 = 2016+1008+672+336+3
....
Вопрос нашим читателям: как далеко мы сможем зайти?

Период дроби делится на 9

Возьмём любое простое число, большее пяти. Найдём его обратную величину. Это будет бесконечная периодическая десятичная дробь.

Например, 1/7 = 0,(142857), 1/13 = 0,(076923), 1/31 = 0,(032258064516129).

Так вот, оказывается, что период, если его записать как натуральное число, будет всегда делиться на 9! (восклицательный знак здесь обозначает не факториал, а выражение эмоции :) )

На 9 делятся и число 142857, и число 76923 и 32258064516129.

Интересный факт? Расскажите, пожалуйста, о нашем блоге у себя - пусть больше читателей смогут открывать для себя занимательные математические факты.

Число 23 - простое без близнецов

Простые числа, то есть такие, которые делятся только на единицу и на самого себя, в начале натурального ряда встречаются достаточно часто.

Сначала они вообще идут рядом: 2 и 3. Затем появляется тройка последовательных нечётных простых: 3, 5 и 7 (это первая и последняя такая тройка). Далее простые числа появляются в натуральном ряду парами близнецов: 11 и 13, 17 и 19.

И только у числа 23 нет простого близнеца. И 21 и 25 - составные числа. Это наименьшее нечётное простое число с данным свойством.

Среди следующих 25-ти чисел уже пар близнецов столько же, сколько и одиночек. А чем больше будут становиться числа, тем реже будут встречаться близнецы. Однако преположительно, встречаться они всё же будут.

Простое число остаётся простым

Если в простом числе 66666666666666622222222222222333 вычеркнуть любую цифру, оно останется простым.

Арифметическая прогрессия из простых чисел

В самой длинной известной арифметической прогрессии, состоящей только из простых чисел, 26 членов.

Начинается она с числа 43 142 746 595 714 191, а каждый следующий член больше предыдущего на 5 283 234 035 979 900.

Бесконечной арифметической прогрессии, которая состояла бы только из простых чисел не существует. Однако, думаю, вы легко сможете придумать функцию от целого аргумента, f(n), значениями которой были бы только простые числа. Если придумаете - оставьте комментарий в списке нерешённых математических задач, где этот вопрос читателям уже более двух лет остаётся без ответа.

Количество разных ходов в шахматах

Из начальной позиции в шахматах у белых есть 20 вариантов хода. Столько же возможных ответов есть и у чёрных. Выходит, после первого хода может сложиться 400 разных позиций.

А вот интересно как нужно расставить на доске начальный комплект фигур, чтобы количество различных первых ходов было максимальным?

При подсчёте количества ходов будем считать, что пешки не двигались и они могут пойти своим ходом как на 1, так и на 2 клетки. А если король и ладья стоят на одной горизонтали и между ними нет фигур, то можно выполнить рокировку.

По аналогии с задачей о выражении числа пи, можно в решениях также учитывать различные условия:
- располагать фигуры по всей доске
- только на своей половине
- тоьлко в крайних двух горизоналях

Спасибо императору!

Если бы не император Август, то завтра уже пришлось бы идти в школу. Я каждый год собирался дать в конце августа эту заметку в блог. Сегодня зашёл уточнить некоторые моменты в Википедии и узнал, что за дополнительный летний день всё-таки стоит поблагодарить другого имератора.

Итак, распространённая легенда следующая. Император Октавиан Август, повелев назвать восьмой месяц года в свою честь, также добавил в него дополнительный день, чтобы тот сравнялся с июлем, названным в честь Гая Юлия Цезаря.

Однако, как свидетельствуют хроники, август длился 31 день даже когда назывался секстилий. А установил такую продолжительность последнего летнего месяца Гай Юлий Цезарь в ходе общей реформы календаря.

В дореформенном римском календаре в этом месяце было всего 29 дней, так что, если бы не Цезарь, то в школу/институт надо было бы идти уже сегодня!

Суперлуние и математика

Вот все пишут про суперлуние, а никто и не обратил внимание, что Луна сейчас находится ровно за тридевять Земель!

Если от поверхности Земли отложить 27 земных диаметров, то попадём на поверхность Луны!

Всем желающим предлагаю найти соответствующие параметры самостоятельно и определить, сильно ли я подогнал действительный результат под желаемый.

Как тремя двойками выразить любое целое число

Среди математических развлечений особое место занимает поиск способа получить некоторое число из заданного набора цифр. Например, эта задача легла в основу нашей математической игры с числом пи.

Часто в таких задачах ставится ограничение на используемые функции и операции. Ведь всего тремя двойками можно записать любое целое число!

Делается это так. Выражение $\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{2}}}$, где квадратный корень вложен n раз, равно $2^\frac{1}{2^n}$.

Если взять от него логарифм по основанию 2, получим:

$\log_2\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{2}}}=\log_2\left(2^\frac{1}{2^n}\right)=\frac{1}{2^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^n=2^{-n}$

Возьмём двоичный логарифм ещё раз:
$\log_2 2^{-n}=-n$

Так мы получим любое целое отрицательное число. А обратив знак - любое натуральное.

$n=-\log_2\log_2\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{2}}}$, где корень берётся n раз.

Головоломка - путешествие по числовой сетке.

Эд Пегг опубликовал новую головоломку.

Начните с клетки с числом 44. Переместитесь из неё ходом ферзя (на любое число клеток по вертикали, горизонтали или диагонали), в клетку, число в которой отличается от предыдущего на 1.

Из новой клетки перейдите ходом ферзя в клетку, число в которой отличается от предыдущего на 2.

Затем перейдите к числу, отличающемуся на 3.

И так далее, всего в этой сетке нужно сделать 36 ходов.

Что такое x и y

Иксы и игреки - это костыли для мозга.

Не помню, кто сказал, но сказано хорошо. Вот поэтому в разборе задач Кенгуру мы описываем, как решать задачи с помощью рассуждений, по вопросам.

Объём додекаэдра

Как-то я публиковал ссылку на оригинальный календарь в форме додекаэдра. Очень хорошая форма для календаря: 12 граней на 12 месяцев.

Я сегодня узнал, что объём додекаэдра с ребром а вычисляется по очень красивой формуле.

$V=a^3\frac{(15+7\sqrt5)}{4}\,$

Новое открытие в математике

Часто провозглашается мысль о том, что в математике на любительском уровне всё открыто, и чтобы принести что-то новое надо лезть в джунгли дифференциального исчисления, комплексного анализа и топологии. Однако, как показала недавняя новость, это не так.

Давно известно, что существует только три правильных многоугольника, которыми можно покрыть плоскость без зазоров и нахлёстов. Это правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник.

Правильными пятиугольниками замостить плоскость нельзя. Однако известно 14 видов пятиугольной плитки, которыми это сделать можно. 14-й вид был найден в 1985 году.

И вот недавно открыт новый пятиугольник, которым можно покрыть плоскость. Вот соотношения его углов и сторон.

Покрывает плоскость от новольно хитрым узором. Серым цветом в виде латинской буквы N выделен повторяющийся блок из 12 таких пятиугольников.

Разумеется, найден он был не любителем с карандашом и бумагой, а доктором с помощью разработанной им компьютерной программы. Однако всё же этот случай показывает, что в математике остаются задачи, поставнока и решение которые понятны не только специалисту, но и просто человеку, увлечённому этой наукой.

И практическое применение может найтись у этой задачи. Например, возможно, что такая облицовка плиткой будет в чём-то эффективнее. А может быть, существует или может быть создано вещество с такой кристаллической решёткой, и у него окажутся какие-то интеерсные свойства. Главное, что математика даёт другим наукам новые направления и инструменты для исследования.

Ещё о правильно-неправильном сокращении дробей

Если сокращать дроби, зачёркивая одинаковые цифры, иногда можно получить правильный результат. Нашими читателями было найдено больше дробей с такими свойствами.

Оказывается все дроби с трёхзначными числителями и знаменателями, которые полностью сократятся при вычёркивании одинаковых цифр, есть в работе Boas, 1979 года.

Например: $\frac{124}{217} = \frac{4}{7}$, $\frac{316}{632} = \frac{1}{2}$. За полным списокм можете заглянуть по ссылке, а можете поискать самостоятельно.

А для программистов также будет интересно, что в 16-ричной системе подобных дробей с двузначными числителями и знаменателями целых 7, а не 4, как десятеричной.

Внимание. Ведущий блога не несёт ответственности, в случае, если читатели на контрольной по математике начнут сокращать так любые дроби. Например, $\frac{13}{39}$ не будет равняться $\frac{1}{9}$

Самоописывающий твит

В этом твите 140 символов. Среди них: 16 цифр, 89 букв (33 гласные и 56 согласных), 8 знаков и 27 пробелов. Сумма же всех цифр тут равна 90.

— Alexey Izvalov (@GameGems) August 3, 2015

Разбиение числа 24 на слагаемые

Число 24 можно разбить в сумму так, что сумма обратных величин этих слагаемых будет равна единице.

24 = 2+4+6+12

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12} = 1$

На math.hashcode.ru сейчас доказывают, что это верно и для любых натуральных чисел, превосходящих 24. Хотите присоединиться?

Почему римляне не развили алгебру

Алгебра у древних римлян не вызывала особого интереса. Они без всяких вычислений знали, что Х = 10.

Нашёл на hijos.ru

Блог о занимательной математике достиг уже таких масштабов, что можно переходить к моей давней задумке - давать к каждому посту пару ссылок на связанные темы (как в передаче Connections на Дискавери).

Вот:
Для кого нужна алгебра по мнению сержанта Колона.
Откруда появилось римское обозначение десятки.

Почему единица это ни простое, ни составное число

Определение простого числа гласит:
Простым называется натуральное число, которое имеет ровно два делителя: единицу и само себя.

Иногда в этом определении забывают о наличии двух разных делителей и рассуждают так:
Единица делится на 1? - да
Единица делится на себя? - да
Значит, 1 - число простое!

Однако, число 1 - уникально (с этого, кстати, начинается доказательство Мартина Гарднера того, что у всех чисел есть интересное свойство). Называть единицу простым ошибочно вот по чему.

Есть основная теорема арифметики. Согласно ей любое натуральное число представляется в виде произвдеения простых чисел единственным способом.На ней базируется множество последующих теорем теории чисел. Но если включить единицу во множество простых, основная теорема арифметики нарушится.

Ведь, например, 12 = 2²3¹ = 1¹2²3¹ = 1³2²3¹ = 1¹⁰2²3¹ = ...

Поэтому число 1 не относят ни к простым, ни к составным.

Почему умножение делается первым?

Многих школьников, и не только, занимает вопрос: почему умножение и деление выполняются до сложения и вычитания?

В рунете на этот вопрос не найти чего-то более вразумительного, чем "так принято" (как в том анекдоте про эксперимент над обезьянами :) ). Но оказывается, на математическом форуме http://mathforum.org/ вопрос приоритета действий и их истории обсуждался ещё в 1998 году. Наиболее рациональное объяснение того, почему умножение выполняется до сложения, таково.

Существует распределительный закон умножения относительно сложения. Этот закон существует безотносительно порядка выполнения действий и гласит, что если сумму двух чисел умножить на третье число, то результат будет таким же, как если бы сначала первое число умножить на третье, затем второе умножить на третье, и результаты сложить.

При используемом нами порядке действий распределительный закон выглядит так:
(a+b)*c = a*c+b*c


Как бы он выглядел, если бы при сложение выполнялось раньше умножения? Вот так:
a+b*c = (a*c)+(b*c)

Во втором равенстве скобок больше, чем в первом. А ещё если учесть человеческую лень (которой своим рождением обязан, кстати, знак плюс), и то, умножение вообще в алгебраических преобразованиях используется чаще сложения (потому-то его знак часто вообще опускают), то становится понятным - выполняя умножение до сложения человечество за века сэкономило миллионы тонн чернил и неподдающееся учёту количество человеко-часов работы учёных, записывающих математические выражения.

Один араб в 1937 году

Эта заметка - результат странствий по Википедии. В декабре 2012 года я искал, в каких странах  в ближайшее время можно будет найти красивые последовательности, образованные цифрами на календаре. Очень удобными в этом смысле оказались Эфиопия, Иран и Северная Корея.

То, что клендарь, применяемый в Индии, отличается от используемого у нас примерно на 78 лет, я тогда заметил, но в пост не вынес. Выходит, текущий 2015-й год соответствует 1937-му году в Индии.

А сегодня, подготавливая пост о наименовании больших чисел, я обнаружил, что в Индии система формирования узловых десятичных единиц отличается от той, к которой мы привыкли. Разряды там группируются не по три, а по два, кроме самых правых трёх разрядов.

И один араб в Индии - это число 1,00,00,00,000, которое у нас называется миллиардом: 1 000 000 000.

Модуль синуса больше единицы

Есть много шуток на счёт решений задач, в ходе которых синус оказывается больше единицы (или меньше минус единицы).

Но оказывается, синус может всё-таки по модулю превосходить единицу! Если брать синус от комплексных переменных.

Расширить область определения синуса на множество компексных числе можно, использовав его разложение в ряд Тейлора:

$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\dots$

В эту формулу можно подставить $x = i = \sqrt{-1}$ и получить:

$\sin i = i-\frac{i^3}{3!}+\frac{i^5}{5!}-\frac{i^7}{7!}+\frac{i^9}{9!}-\dots=i+\frac{i}{3!}+\frac{i}{5!}+\frac{i}{7!}+\frac{i}{9!}+\dots= 1.175\dots \cdot i$

Выходит, по модулю синус числа i будет больше единицы:
$|\sin i | = 1.175\dots$

Простой признак делимости на 7

При изучении признаков делимости в 6 классе, признак делимости на 7 часто пропускают или объединяют вместе с признаками делимости на 11 и 13 в признак делимости на 1001.

В одной табличке признаков делимости мне даже попалась фраза: "простого признака делимости на 7 нет". А он есть! :)

Оказывается, чтобы проверить, делится ли число на 7, надо у него отбросить последнюю цифру и от оставшегося числа эту отброшенную цифру дважды вычесть. Если полученный результат делится на 7, то и число делится на 7.

Это действие можно проводить несколько раз, пока явно не увидим делимость или её отсутствие.

Возьмём число 39312
Отбрасываем последнюю двойку и дважды её отнимаем:
3931-2-2 = 3927
Отбрасываем последнюю семёрку и дважды её отнимаем:
392-7-7 = 378
Отбрасываем последнюю восьмёрку и дважды её отнимаем:
37-8-8 = 21

21 делится на 7, значит и 39312 делится на 7.

Кстати, этот метод можно ещё чуть-чуть усовершенствовать. Подумайте, как.

Ещё больше признаков делимости в статье на Эвольвенте: "Интересные признаки делимости, о которых обычно не рассказывают в 6 классе"

Приближение числа пи из его собственных цифр

Вчерашнее математическое развлечение в честь дня числа пи принесло много интересных приближений этого числа. А вот одно из них, использующее только 4 вида арифметических действий:

3+1/4+1/5/9*2-6/5/3/5/8-9/7/9 = 3.14158730...

Оно отличается от пи менее, чем на 0,0000054

Математическая игра в честь для числа пи

Сегодня день числа пи и нашему проекту "Приглашение в мир математики" исполняется 7 лет. По такому случаю приглашаю вас поучаствовать в математической игре.

Суть такова :)

Берём несколько первых цифр числа пи, расставляем между ними только знаки сложения, вычитания, умножения, деления и возвеления в степень, чтобы получить результат, как можно более приближённый к пи = 3,1415926535...

Вот примеры первых нескольких выражений:
3 (погрешность 0,14159...)
3х1 (погрешность 0,14159...)
3+1/4 (погрешность 0,10840...)
3+1/4х1 (погрешность 0,10840...)
3+1/4-1/5 (погрешность 0,09159...)

Лучше всего поучаствовать в математической игре в блоге "Эвольвента", чтобы сравнить свои результаты с результатами участников разных математических форумов.

242

Число 242 начинает первую серию из четырёх последовательных чисел, у которых поровну (по 6) делителей.

Шесть делителей может быть или у пятой степени простого числа или у произведения квадрата простого числа на другое простое число. Числа 242, 243, 244, 245 имеют вид:

242=2х11²
243 = 3⁵
244 = 2²x61
245 = 5х7²

Тридцать три

С числа 33 начинается первая тройка натуральных чисел, каждое из которых имеет ровно 4 делителя.

33 делится на 1, 3, 11 и 33
34 делится на 1, 2, 17 и 34
35 делится на 1, 5, 7 и 35

Унитарный делитель

В математической части англоязычная википедия намного полнее русскоязычной. Сегодня я в ней нашёл интересный термин - unitary divisor, унитарный делитель.

Унитарным делителем числа n называется такой делитель d, для которого парный ему делитель ($\frac{d}{n}$), не имеет с d общих делителей.

Например, для числа 24 = 24х1 = 12х2 = 8х3 = 6х4 унитарными являются делители 1, 3, 8 и 24.

Количество унитарных делителей числа n равно $2^k$, где k - количество различных простых делителей числа n.

Если число n - степень двойки, то сумма его унитарных делителей нечётна. Во всех других случаях она будет чётной.

Сумма всех натуральных чисел

Для числа 12 на математических часах я выбрал одну их наиболее парадоксальных формул, согласно которой сумма всего бесконечного множества натуральных чисел равна конкретному (!) дробному (!) отрицательному (!) числу.

А именно, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n = -\frac{1}{12}$

Чтобы разобраться, как такое может быть, начнём с ряда 1-1+1-1+1-1+1-1+......
Так как его сумма не стремится к какой-либо определённой величине, а принимает поочерёдно два различных значения: 1 или 0, он считается расходящимся.

Однако можно расширить понятие суммирования рядов и на расходящиеся, для начала приняв:
S = 1-1+1-1+1-1+1-1+...
Тогда этот же ряд можно записать как:
1-(1-1+1-1+1-1+1-1+... = 1-S

Имеем уравнение:
S = 1-S
S = 0,5

Теперь возьмём этот ряд и возведём его в квадрат. При умножении рядов (a₁+a₂+a₃+a₄+...) на (b₁+b₂+b₃+b₄+...) получается ряд
(a₁b₁)+(a₁b₂+a₂b₁)+(a₁b₃+a₂b₂+a₃b₁)+(a₁b₄+a₂b₃+a₃b₂+a₄b₁), в котором в один член группируются произведения тех елементов рядов-множителей, для которых сумма индексов постоянна.

Получается, что (1-1+1-1+1-1+1-1+...)*(1-1+1-1+1-1+1-1+...) = 1+(1*(-1)+(-1)*1)+(1*1+(-1)*(-1)+1*1)+(1*(-1)+(-1)*1+1*(-1)+(-1)*1)+... = 1-2+3-4+5-6+7-...

Таки образом, сумма натурального знакопеременного ряда 1-2+3-4+5-6+7-... равна 0,5² = 0,25

Теперь сделаем ещё один шаг. Какой ряд надо прибавить к натуральному знакопеременному ряду, чтобы получить натуральный?

1-2+3-4+5-6+7-8+...
+
0+4+0+8+0+12+0+16+...
__________________
1+2+3+4+5+6+7+8+...

Но прибавляемый ряд равен учетверённому натуральному ряду:
0+4+0+8+0+12+0+16+... = 4(1+2+3+4+...)

Значит, 1-2+3-4+5-6+7-8+... = 1+2+3+4+... -4(1+2+3+4+...)= -3(1+2+3+4+...)
-3(1+2+3+4+...)=0,25
Откуда
$1+2+3+4+5+6+7+8+\dots=-\frac{1}{12}$

Впервые этот результат был получен Рамануджаном. И это не результат софизма и не пустое развлечение. Как оказалось, величина $-\frac{1}{12}$ для суммы всех натуральных чисел сейчас находит применение в квантовой механике.

Очевидно

Если в олимпиадной работе участник пишет "очевидно" - значит, он не знает доказательства. Если бы он знал доказательство, то расписал бы его на 2-3 страницы.

В.А. Ясинский,

48

На старте блога мы часто публиковали интересные свойства чисел.
Недавно я узнал, что куб можно разрезать на любое количество кубов, большее или равное 48-ми.

Задача о разрезании куба на меньшие называется задачей Хадвигера.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно складывать, вычитать, умножать на число. А перемножать векторы между собой можно даже двумя способами: скалярно и векторно.

Результатом скалярного произведения является число, а порядок множителей неважен. Результатом же векторного произведения является вектор, напрваление которого зависит от того, в каком порядке перемножались сомножители.

Скалярное произведение обозначается точкой, а векторное - крестиком.

Скалярное произведение вычисляется просто: нужно попарно перемножить соответстсвующие координаты векторов, а результаты сложить.

Таким образом, на математических часах запись $\overline{(2,5)}\cdot\overline{(3,1)}$ обозначает $2\cdot 3+5\cdot 1=11$

Геометрически скалярное произвдение вектора равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.

Вычисление количества сочетаний

Число 10 на математических часах представляется как
$10=C_5^2$

Эта запись означает количество сочетаний из 5 элементов по 2. Иными словами, сколькими способами можно выбрать из пяти различных предметов неупорядоченную пару

Искомое число можно подсчитать непосредственно. Из (1,2,3,4,5) можно выбрать такие пары (не забываем, что порядок в них неважен):

(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5)
Всего их 10.

Как же вычислять $C_n^m$ не прибегая к непосредственному перечислению? Первый предмет можно выбрать n способами. Второй предмет можно выбрать (n-1) способами. Для третьего будет (n-2) способов, и т.д. до (n-m+1) способов выбрать m-й предмет.

Значит, количество способов выбрать m предметов из n при условии, что порядок важен, равно произведению $n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\dots\cdot(n-m+1)$.

Сами же эти m предметов можно переставить между собой m! способами. Значит, каждая непорядоченная группа из m предметов при нашем подсчёте оказалась подсчитанной m! раз.

Поэтому $C_n^m$ оказывается равно дроби: $\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\dots\cdot(n-m+1)}{m!}$

Эту формулу можно упростить, заметив, что $n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\dots\cdot(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

Таким образом, $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

Вычисление предела

Как-то резко я прекратил публиковать объяснение формул со своих математических часов. Продолжаем!

Число 9 выражается как предел $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(3x+1)(3x+2)}{(x+3)(x-2)}$

Предел этот представляет собой неопределённость вида бесконечность на бесконечность. При этом в числителе и знаменателе предела - многочлены.

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{9x^2+9x+2}{x^2+x-6}$

Так как эти многочлены одинаковых степеней, предел будет равен отношению их старших коэффициентов. Для доказательства этого факта разделим числитель и знаменатель на $x^2$:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{9x^2+9x+2}{x^2}}{\frac{x^2+x-6}{x^2}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{9x^2}{x^2}+\frac{9x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}-\frac{6}{x^2}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{9+\frac{9}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}}$

Поскольку х стремится к бесконечности, то все слагаемые числителя и знаменателя, кроме первых, стремятся к нулю и можно вычислить предел.

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{9+\frac{9}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}} = \frac{9+0+0}{1+0+0}=9$

Вот, кстати, как выглядит график этой функции:

Прямая у=9 является егго горизонтальной асимптотой.

Юмор

Коза, привязанная к колышку, лучше понимает, что такое радиус, чем восьмиклассник.

(c) КВН

71322723191816151410

Давненько здесь не было публикаций о самоописывающих конструкциях. В блоге PrimePuzzles.net я нашёл интересное число, описывающее само себя.

В числе 71322723191816151410 имеется:
7 единиц,
3 двойки,
2 семёрки,
2 тройки,
1 девятка,
1 восьмёрка,
1 шестёрка,
1 пятёрка,
1 четвёрка,
1 ноль

Это наибольшее из самоописывающих чисел подобного рода.

Особенный день числа пи!

"Американский" день числа пи отмечается 14 марта, поскольку в этой системе записи дат месяц пишется перед днём и дата выглядит как три первых знака в десятичной записи числа пи: 3/14. Знак дроби, конечно же, немного портит сответствие, но это закрывают глаза, чтобы не терять повод для праздника.

В этом году наступит момент, запись которого будет иметь намного большее совпадение с записью числа пи.

14 марта 2015 года в 9 часов, 26 минут 52 секунды и 589 миллисекунд на часах окажется запись: 3/14/15 9:26:52.589, что сопадает с пи = 3,141592652589793,,, до двенадцатоготого знака после запятой.

Как отметить день числа пи

На Яндексе в честь дня числа пи, 14 марта в 12:00 по московскому времени будет проводиться контрольная по математике под названием "Что и требовалось доказать"

Пройти демонстрационное задание и зарегистрироваться для участия в контрольной можно по этом адресу: https://yandex.ru/math

Давайте посоревнуемся!

Остатки от деления

Задав число 2015 в Вольфрамальфе я увидел интересную особенность: при делении на числа от 2 до 9 (кроме 5) число 2015 даёт остатки, на единицу меньшие делителя.

2015:2 = 1007 (ост.1)
2015:3 = 671 (ост.2)
2015:4 = 503 (ост.3)
с пятёркой исключение - тут делится нацело
2015:6 = 335 (ост.5)
2015:7 = 287 (ост.6)
2015:8 = 251 (ост.7)
2015:9 = 223 (ост.8)

2015 - число Лукаса-Кармайкла

Обычно перед началом нового года я публикую интересные свойства его номера. Однако на этот раз в публикациях блога образовалась пауза, которую пора прекращать.

Простыми делителями числа 2015 являются числа 5, 13 и 31. А число 2016 = 2015+1 делится на 5+1, 13+1 и 31+1.

Числа, обладающие таким свойством, называются числами Лукаса-Кармайкла. Числа Лукаса-Кармайкла должны быть свободными от квадратов, т.е. не должны делиться на квадрат простого числа. В противном случае числом Лукаса-Кармайкла считался бы куб любого простого числа. Если $n=p^3$, то $n+1  = p^3+1 = (p+1)(p^2+p+1)|(p+1)$