Зачем понадобилось число i

Часто, когда рассказывают о комплексных числах, говорят, что они были введены в математику, чтобы любые квадратные уравнения имели решения. Однако на самом деле всё было интереснее.

Ведь и вправду, что с того, что уравнение x² + 1 = 0 не имеет корней в действительных числах?  Не имеет - так не имеет. А вот вводить новый математический объект, число i, являющееся квадратным корнем из минус единицы, понадобилось, чтобы решать кубические уравнения.

Как дискриминант для квадратных, для решения кубических уравнений используется формула Кардано. Для уравнений вида
x³ + px + q = 0

Один из корней получается по формуле


Однако, если рассмотреть уравнение
 x³ - x = 0, получим:

p = -1, q = 0


Без умения извлекать квадратные корни из отрицательный чисел, на этом этапе решение остановилось бы. Однако, легко видеть (не люблю эту фразу в решениях, но здесь и вправду легко :) ), что исходное уравнение имеет целых 3 действительных корня: -1, 0 и 1.

Если же ввести число  и доказать, что кубический корень из него равен -i:



То корень уравнения будет получен:


Интересно, что два других корня будут получены из той же самой формулы. Просто существуют ещё два разных числа, каждое из которых в кубе давать i. Это


Можете проверить, что каждое из них, будучи возведённым в куб, даст i. Использовав их на этапе извлечения кубического корня в нашем уравнении, получим оставшиеся два решения: x = 1 и x = -1

Впервые комплексные числа в математику ввёл Рафаэль Бомбелли, он также нашёл алгоритм разложения любого корня в цепную дробь.