Используя свойство медианты, можно находить рациональные приближения чисел. Покажем это на примере числа е .
Число е находится между двумя целыми числами:
2 < e < 3
Запишем границы в виде дробей:
![приближение числа е через медианты](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ukP0SaMAzSPHf2CeAwX0iyGMCIqN6DAhjNG5zE-V8yCmXEtdzLQ5QXvuZ6cOnAyTb9SShSpdbuf7AFq4xuugWH=s0-d)
Теперь сравним е с медиантой границ:
![приближение числа е через медианты](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u2uXTEN94sx7RzuGeIQgbV2CRZTveYlm2Cmdz7ReZV8i5VAQP22Dxq9V4B9GBnOnFfOMYJY7foBvoTSfVPGaTV1g=s0-d)
Значит, левую границу можно подвинуть:
![приближение числа е через медианты](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tv270IVmSUdqhUMUNq_vEJLoaozzO1F70Y3VJH-norxNbHmtJhlTe2VWY98UeJWeKMG5WL6A7O5PSkc_JmXyRPVw=s0-d)
Следующее сравнение с новой медиантой:
![приближение числа е через медианты](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tGzd3tlYZiZz711eeF7wfGLhfMVJeV3b16ICb-xu_mvU-1IreYPyfQY9VfpVkJ11LnXfDKIR2KvKnAImjomvxgzg=s0-d)
Снова уточняем оценку:
![приближение числа е через медианты](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u6_t0vU_3wldBQTbQR0iq4bACEGizwXgz6PH30SRJD846Lr2pGXJBJLx1Y0olgPmkDk7Q-Ho_Eg0LfCXQ7w469eQ=s0-d)
И продолжаем сравнивать число е с медиантой новый границ. В зависимости от результат сравнения будем пододвигать левую или правую границы:
![приближение числа е через медианты](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uM7A5ZbKut_uVSq3G_Gpd9-trwcL4MvCckhE-Y8PVcINEd_UCl4_VqWhIxixgWwjgkFFkQjbXJtbJ5hrS_SAdQng=s0-d)
![приближение числа е через медианты](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vlvo5UK7TViVZbBASxHr6iIxQxK_IVDxO4eR6idSnpHTvF18lmPhTUuo5MqGxQcbQ6hW7tFAWS1989Cak7t7QL=s0-d)
![приближение числа е через медианты](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tU8ohbui65Jxy21S7i73clg4lMEhlj0T0YN-eFwrUAxoJuyHKDrjIjZDErqhfXH4tFHMlGfsQ746cNJ6d77wfOfA=s0-d)
Дальше буду писать только по одной границе для компактности:
![приближение числа е через медианты](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_swZHf8s_rQfuniqP9CifH8d9j4CzY7EEogCs6bPn7aHu7vBaTYQdWb_4nMODs7c_bwCiBlWASCgWjUdo6RU6NWOw=s0-d)
![приближение числа е через медианты](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tDg0JSJTFA6xDaUp04xTkhIB77jiQmFKboeh107454UXa0OG7QwmSZhj88WXFldH1fng0JOJFkcCSoiH3zBZfRMA=s0-d)
![приближение числа е через медианты](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s2-cfEXUG99eSy7s5kaPFrpuecOqY34woAjLrlRCOO3W0pD2_8yVaRU18iLpO-XFBWv-Mundr4vtkwPzSS0e3AMQ=s0-d)
![приближение числа е через медианты](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s77Ptf6OcEk_WG7YdTkr2rcF211bZ2m0Ru3OsOxv3ZqtknP5sY4Gg-NT4cPJL1OM9uHM_t_va1RX5fN76kTPb0MQ=s0-d)
![приближение числа е через медианты](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t8N6woqDblks_4VPFOE81nxw08syOWYvQJHv_UwuaMp0tPErImUDwFnL5zS_XS6Vfj0q23DrpA_mYJgoxkUBm1=s0-d)
Последнее приближение отличается от е всего на две стотысячных.
Взглянем на сам процесс приближения числа е через медианты внимательнее. Подсчитаем, сколько шагов проходило до того, как новая медианта оказывалась с другой стороны от числа. Получим: 1 дробь справа (e < 3), 2 дроби слева, 1 дробь справа, 1 дробь - слева, 4 дроби справа, 1 дробь - слева, 1 дробь - справа.
Но ведь это звенья разложения дробной части числа е в цепную дробь! [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1 ...]
Вот и ещё один алгоритм разложения числа в цепную дробь, имеющий намного больший запас точности, чем периодическая замена дробной части числа обратной величиной.
Число е находится между двумя целыми числами:
2 < e < 3
Запишем границы в виде дробей:
Теперь сравним е с медиантой границ:
Значит, левую границу можно подвинуть:
Следующее сравнение с новой медиантой:
Снова уточняем оценку:
И продолжаем сравнивать число е с медиантой новый границ. В зависимости от результат сравнения будем пододвигать левую или правую границы:
Дальше буду писать только по одной границе для компактности:
Последнее приближение отличается от е всего на две стотысячных.
Взглянем на сам процесс приближения числа е через медианты внимательнее. Подсчитаем, сколько шагов проходило до того, как новая медианта оказывалась с другой стороны от числа. Получим: 1 дробь справа (e < 3), 2 дроби слева, 1 дробь справа, 1 дробь - слева, 4 дроби справа, 1 дробь - слева, 1 дробь - справа.
Но ведь это звенья разложения дробной части числа е в цепную дробь! [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1 ...]
Вот и ещё один алгоритм разложения числа в цепную дробь, имеющий намного больший запас точности, чем периодическая замена дробной части числа обратной величиной.
Комментариев нет:
Отправить комментарий