понедельник, 8 октября 2012 г.

Постоянная Хинчина

Если вы пробовали раскладывать наугад взятое число в цепную дробь, то, наверняка, обращали внимание, что единицы и двойки встречаются в разложении чаще всего, а большие числа - редко.

Этот факт в 1935 году заметил и советский математик Александр Яковлевич Хинчин. Он доказал, что почти для всех иррациональных чисел, предел среднего геометрического членов разложения их дробной части в цепную дробь будет величиной постоянной, и равной 2,685452...

Для иллюстрации этого процесса проведём его для дробной части числа пи:

Звено
Среднее геометрическое всех звеньев по данное
7
7
15
10,246951
1
4,717694
292
13,232535
1
7,894315
1
5,594510
1
4,374605
2
3,966891
1
3,403735
3
3,361030
1
3,010310
14
3,421666
2
3,283209
1
3,015922
1
2,801940
2
2,743513
2
2,692972
2
2,648829
2
2,609947
1
2,487712
84
2,941608
2
2,890471
1
2,760111

Однако, обратите внимание, что для пи ещё не доказано, будет ли в пределе именно постоянная Хинчина, 2,685452...

Известные исключения (для которых данный предел средних геометрических не получается) - это квадратичные иррациональности (с периодическими цепными дробями) и число е.

2 комментария:

  1. "единицы и двойки встречаются в разложении чаще всего, а большие числа - редко."

    жили бы мы в троичной системе счисления наверное не обратили бы внимания )

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Нет-нет, постоянная Хинчина от системы счисления не зависит. Ведь звенья цепной дроби - это числа, а не цифры.

      Удалить

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время узор задача корень структура тригонометрия е конструкция сайты формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл уравнение видео комплексные магический квадрат палиндром правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр