понедельник, 8 октября 2012 г.

Постоянная Хинчина

Если вы пробовали раскладывать наугад взятое число в цепную дробь, то, наверняка, обращали внимание, что единицы и двойки встречаются в разложении чаще всего, а большие числа - редко.

Этот факт в 1935 году заметил и советский математик Александр Яковлевич Хинчин. Он доказал, что почти для всех иррациональных чисел, предел среднего геометрического членов разложения их дробной части в цепную дробь будет величиной постоянной, и равной 2,685452...

Для иллюстрации этого процесса проведём его для дробной части числа пи:

Звено
Среднее геометрическое всех звеньев по данное
7
7
15
10,246951
1
4,717694
292
13,232535
1
7,894315
1
5,594510
1
4,374605
2
3,966891
1
3,403735
3
3,361030
1
3,010310
14
3,421666
2
3,283209
1
3,015922
1
2,801940
2
2,743513
2
2,692972
2
2,648829
2
2,609947
1
2,487712
84
2,941608
2
2,890471
1
2,760111

Однако, обратите внимание, что для пи ещё не доказано, будет ли в пределе именно постоянная Хинчина, 2,685452...

Известные исключения (для которых данный предел средних геометрических не получается) - это квадратичные иррациональности (с периодическими цепными дробями) и число е.

2 комментария:

  1. "единицы и двойки встречаются в разложении чаще всего, а большие числа - редко."

    жили бы мы в троичной системе счисления наверное не обратили бы внимания )

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Нет-нет, постоянная Хинчина от системы счисления не зависит. Ведь звенья цепной дроби - это числа, а не цифры.

      Удалить

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор дроби язык степень делимость пи методы история квадрат самоописывающее время задача система счисления узор корень тригонометрия структура е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал комбинаторика последовательность график память логарифм вероятность палиндром пределы конкурс треугольник магический квадрат неизвестное правильно-неправильное действие видео интеграл уравнение комплексные софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы матрица проценты разрезания логика парабола символ статистика 2014 Фибоначчи клеточный автомат кривая производная фокус головоломка действия иллюзия куб шахматы многоугольник новости оказывается оригами подобие построение сложение термин тетраэдр топология