Рассмотрим задачу:
Найти натуральные x и y, для которых
x2 - 2012y2 = 1
Поскольку 2012 кратно четырём, то данное уравнение равносильно:
x2 - 503z2 = 1,
где z = 2y.
Вот, что с ним можно сделать теперь . Разделим обе части на z2 и выполним перенос вычитаемого вправо:
![решение уравнения Пелля](http://mathurl.com/95h7w8n.png)
И извлечём корень:
Таким образом, корни этого диофантова уравнения можно искать среди рациональных приближений корня из 503.
Этот корень раскладывается в бесконечную цепную дробь:
Дальше числа в знаменателях будут периодично повторяться. Более коротко такая цепная дробь записывается как:
[22, (2, 2, 1, 21, 1, 2, 2, 44)].
Если обрывать цепную дробь на каком-нибудь слагаемом и сворачивать её обратно, будем получать подходящие дроби. Если для приближения взять дробь
То получим первую пару натуральных чисел, удовлетворяющую условию:
246482 - 503*10992 = 1
Таким образом, x = 24648, y = 2198
Вот так решаются уравнения Пелля. Заметим. что в таких уравнениях коэффициент при y2 не является полным квадратом.
Найти натуральные x и y, для которых
x2 - 2012y2 = 1
Поскольку 2012 кратно четырём, то данное уравнение равносильно:
x2 - 503z2 = 1,
где z = 2y.
Вот, что с ним можно сделать теперь . Разделим обе части на z2 и выполним перенос вычитаемого вправо:
![решение уравнения Пелля](http://mathurl.com/95h7w8n.png)
И извлечём корень:
![решение уравнения Пелля](http://mathurl.com/966ohqd.png)
Таким образом, корни этого диофантова уравнения можно искать среди рациональных приближений корня из 503.
Этот корень раскладывается в бесконечную цепную дробь:
![цепная дробь](http://mathurl.com/92w24um.png)
Дальше числа в знаменателях будут периодично повторяться. Более коротко такая цепная дробь записывается как:
[22, (2, 2, 1, 21, 1, 2, 2, 44)].
Если обрывать цепную дробь на каком-нибудь слагаемом и сворачивать её обратно, будем получать подходящие дроби. Если для приближения взять дробь
![цепная дробь](http://mathurl.com/8gfh2te.png)
То получим первую пару натуральных чисел, удовлетворяющую условию:
246482 - 503*10992 = 1
Таким образом, x = 24648, y = 2198
Вот так решаются уравнения Пелля. Заметим. что в таких уравнениях коэффициент при y2 не является полным квадратом.
<-> где z = 4y.
ОтветитьУдалить<+> где z = 2y.
=======================
<-> Таким образом, x = 24648, y = 2198
<+> Таким образом, x = 24648, y = ?
Спасибо большое! Оказывается, ошибся я только в описании подстановки, сами корни так и остаются.
Удалить