среда, 3 октября 2012 г.

Уравнение Пелля

Рассмотрим задачу:
Найти натуральные x и y, для которых
 x- 2012y= 1

Поскольку 2012 кратно четырём, то данное уравнение равносильно:
 x- 503z= 1,
где z = 2y.

Вот, что с ним можно сделать теперь . Разделим обе части на z2 и выполним перенос вычитаемого вправо:
решение уравнения Пелля

И извлечём корень:
решение уравнения Пелля

Таким образом, корни этого диофантова уравнения можно искать среди рациональных приближений корня из 503.

Этот корень раскладывается в бесконечную цепную дробь:
цепная дробь

Дальше числа в знаменателях будут периодично повторяться. Более коротко такая цепная дробь записывается как:
[22, (2, 2, 1, 21, 1, 2, 2, 44)].

Если обрывать цепную дробь на каком-нибудь слагаемом и сворачивать её обратно, будем получать подходящие дроби. Если для приближения взять дробь

цепная дробь

То получим первую пару натуральных чисел, удовлетворяющую условию:
24648- 503*1099= 1

Таким образом, x = 24648, y = 2198

Вот так решаются уравнения Пелля. Заметим. что в таких уравнениях коэффициент при y2 не является полным квадратом.

2 комментария:

  1. Анонимный26/1/13 20:40

    <-> где z = 4y.
    <+> где z = 2y.
    =======================
    <-> Таким образом, x = 24648, y = 2198
    <+> Таким образом, x = 24648, y = ?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Спасибо большое! Оказывается, ошибся я только в описании подстановки, сами корни так и остаются.

      Удалить

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время узор задача корень структура тригонометрия е конструкция сайты формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл уравнение видео комплексные магический квадрат палиндром правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр