Список нерешённых математических задач

Нет, здесь не будут представлены задачи тысячелетия, за решение которых объявлены премии в миллион долларов. Просто за время существования блога я иногда в постах формулировал задачки, некоторые из которых пока не поддались читателям.

1. На реальной политической карте мира существуют 4 государства, все имеющие выход к морю и граничащие друг с другом. Как такое может быть? И нарушается ли при этом теорема о четырёх красках?

2. Хотя говорят, что задача поиска простых чисел - одна из самых сложных, вы легко можете привести пример функции f(n), значения которой будут только простыми числами. Нет ли тут противоречия?

3. Задачу о перестановке цифр и сложении решили на Назве, но в самом блоге пока не появилось комментария с правильной цепочкой преобразований.

4. Является ли "де" в фамилии Рене Декарта отдельной частицей? Просто заинтересовался, подбирая материалы для поста о нём, может быть, кто-то знает точно и расскажет.

5. Было найдено много примеров честных чисел, но всегда интересно расширить список.

6. Актуальна и аналогичная задача поиска избыточных чисел, правда, там найдено примеров поменьше.

7. Задача на продолжение последовательности пока держится, хотя я дал уже 3 подсказки.

8. Задача про трёхзначное число решена для десятичной системы счисления. Остаётся найти такую систему, в которой она бы имела 2 решения.

9. На 50% решена задача о неизменном трёхциферном окончании.

10. Софизм про 2 + 2 = 5, видимо, был знаком многим читателям блога, потому комментариев к нему не появилось, но если кто сталкивается с подобным доказательством впервые, поискать ошибку было бы интересно и полезно.

11. На сколько частей разобьют плоскость n прямых общего положения?

12. Здесь мы ищем треугольники с целой площадью и последовательными целыми сторонами.

13. А тут нужно найти четвёртую из дробей, допускающих правильно-неправильное сокращение.

14. Вот на эту задачу о дробях и играх с цифрами сам не знаю ответа, но интересно поискать.

15. Вот ещё одна задача о перестановке цифр, решения которой я не знаю. Она вполне могла бы быть темой для исследовательской работы в Малой академии наук по секции Математика или Программирование.

Интересные факты о математике

А знаете ли вы, что...

• Бросая иголку на паркетный пол, можно вычислить число пи;
• На реальной политической карте мира нарушается теорема о четырёх красках;
• Не существует универсального алгоритма, определяющего, зациклится ли некоторый данный алгоритм или нет;
• Соломинка и бублик с точки зрения одного из разделов математики - одно и то же;
• Плоскость можно полностью замостить квадратами со сторонами 1, 2, 3, 4, 5 и т.д., взяв каждый ровно по одному разу;
• Можно туристу дать такую последовательность инструкций, которая приведёт его в нужную точку, где бы он изначально не находился;
• Существует арифметическая прогрессия любой наперёд заданной длины, все члены которой - простые числа;
• Существует даже функция от натурального аргумента, все значения которой - простые числа;
• Со времени присуждения премии института Клэя Григорию Перельману, новых публикаций в этом разделе сайта не появлялось;
• Кроме $2^3$ и $3^2$ не существует больше последовательных натуральных чисел, являющих степенями;

Обычно первого апреля я в блоге публикую софизмы или разные математические розыгрыши, но в этот раз все утверждения в списке - правда. Для некоторых из них стоит подумать, как такое возможно. Так что жду комментариев!

Капетенуза примугольнова примугольника

С 2005 года по Сети ходит скан контрольной работы по геометрии за седьмой класс. Тема, видимо, "теорема Пифагора". Может быть, это и фейк, но если фейк - то талантливый.

Вариант 3.
1. Какие стороны называются катетом.
Те, которые равны $90^o$

2. Свойства примугольнова примугольника
Примугольник примугольника равен $180^o$, а значит что там есть катеты равные $90^o$ и капетенузы равные $60^o$

3. Если капетенуза и катет однова примугольника треугольника соотвецтвена равны капетенузы и катету то они равны $90^o$

Умножение чисел, чуть меньших 100

Друг поделился картинкой, показывающей интересный способ умножения. Сейчас покажу, почему этот приём работает и какие у него ограничения.

Перемножим 2 числа, чуть меньшие сотни:
(100 - a)(100 - b) = 10000 - 100(a + b) + ab = 100(100 - (a + b)) + ab

Например:

81*97 =
a = 19, b = 3, a + b = 22, ab = 57, 100 - (a + b) = 78.
Результат: 7857

Следует быть внимательным в случае, когда ab окажется трёхзначным:
88*89 =
a = 12, b = 11, a + b = 23, ab = 132, 100 - (a + b) = 77.
В этом случае нужно будет первую цифру от 132 прибавить к 77, а уже двуциферное окончание приписать к полученному результату. Получим: 7832 

Любые цифры в степени двойки

А вы знали, что для любой заданной наперёд последовательности цифр найдётся степень двойки, с этой последовательности начинающаяся? Например первые 4 цифры числа $2^{9645}$ будут 2718 - такие же, как и у числа e, а десятичная запись степени $2^{1363}$ начинается с 2013, номера текущего года.

Доказывается это вот как:

Как выиграть в казино?

Как-то я писал о том, что у кубика нет памяти. Однажды в 1913 году этот факт позволил баснословно обогатиться одному казино в Монте-Карло.

18 августа 1913 года на рулетке начала выпадать серия из чёрных секторов. пять, десять, пятнадцать раз подряд... Игроки, полагающие, что уж теперь-то она должна перваться, стали массово ставить на красное. Выпало чёрное.

Снова ставки - уж теперь-то должно быть красное! Нет, опять чёрное. И ещё, и ещё раз. Прикинув, что вероятность двадцати чёрных секторов подряд чуть меньше одной миллионной, посетители снова массово ставили на красное. И опять мимо.

Ведь при оценке шансов надо было событие "двадцать чёрных подряд" сравнивать не с событием "любая другая последовательность", а с событием "девятнадцать чёрных и красное". И в этом случае призрачная "одна миллионная" превращается в осязаемые пятьдесят процентов.

Хуже всего приходилось тем, кто, желая отыграться, удваивал ставку после каждого проигрыша. Ведь перебороть серию из 26 чёрных секторов подряд денег не хватило никому.

Так что ответ на вопрос заголовка - чтобы выигрывать в казино, надо быть его владельцем!

Первые цифры степеней

Закономерность в последних цифрах степеней находится легко. А что можно сказать о первых цифрах степени двойки? Есть ли в последовательности 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, …закономерность?

Сначала кажется, что группа из 10 цифр 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5 здесь опять-таки будет повторяться периодически. Но быть полностью уверенными в этом мы не можем, т.к. первая цифра степени может зависеть не только от первой, а от всех цифр предыдущей степени.