Задача на миллион долларов

В 1993 году техасский математик-любитель и миллиардер по совместительству, Эндрю Бил, предложил приз в 100 тысяч долларов за решение одной задачки из теории чисел.

Доказать, что если мы возьмём три натуральных числа А, В, С, возведём их в натуральные степени x, y, z, большие двух, и будет выполняться равенство:

$A^x+B^y=C^z$,

то у чисел А, В, С обязательно найдётся общий простой множитель.

Вот, например:
$27^4+162^3=9^7$

Здесь все числа, возводимые в степень, делятся на 3 (и даже на 9).

Приз можно получить и если найдёте контрпример: подобное равенство, в котором основания степеней не имели бы общего множителя, большего единицы.

За 20 лет исследований разобрано достаточно много частный случаев, однако обощения пока не найдено, поэтому приз вырос до одного миллион долларов.

Дерзайте!

Двойка и пятёрка

Двойка и пятёрка входят в интересное соотношение:
$2^5-5^2=2+5$

Гиппопотенуза

Я нашёл эту картинку на сайте http://math-fail.com/

Математический Марафон

Обычно, если в публикациях блога наступает перерыв, это значит, что я работаю над новой игрой :) Сейчас это правда лишь отчасти, т.к. реализацию своей идеи одновременных ходов в шахматах я уже отправил на закрытое бета-тестирование. А в данный момент занят я решением интересных задач из Математического Марафона.



Владимир Лецко проводит уже 17-й тур этого соревнования. Прочитать условия задач можно, например, на научном форуме dxdy.ru.



В задаче с ближайшим сроком сдачи ответов (5 мая) рассматриваются числа, представимые в виде суммы ровно 4 своих (попарно различных) делителей. Как, скажем, число 12 = 6 + 3 + 2 + 1. Требуется найти стомиллиардное число с таким свойством.


Решения этой и других задач присылайте ведущему по адресу val-etc [at] yandex.ru

Список нерешённых математических задач

Нет, здесь не будут представлены задачи тысячелетия, за решение которых объявлены премии в миллион долларов. Просто за время существования блога я иногда в постах формулировал задачки, некоторые из которых пока не поддались читателям.

1. На реальной политической карте мира существуют 4 государства, все имеющие выход к морю и граничащие друг с другом. Как такое может быть? И нарушается ли при этом теорема о четырёх красках?

2. Хотя говорят, что задача поиска простых чисел - одна из самых сложных, вы легко можете привести пример функции f(n), значения которой будут только простыми числами. Нет ли тут противоречия?

3. Задачу о перестановке цифр и сложении решили на Назве, но в самом блоге пока не появилось комментария с правильной цепочкой преобразований.

4. Является ли "де" в фамилии Рене Декарта отдельной частицей? Просто заинтересовался, подбирая материалы для поста о нём, может быть, кто-то знает точно и расскажет.

5. Было найдено много примеров честных чисел, но всегда интересно расширить список.

6. Актуальна и аналогичная задача поиска избыточных чисел, правда, там найдено примеров поменьше.

7. Задача на продолжение последовательности пока держится, хотя я дал уже 3 подсказки.

8. Задача про трёхзначное число решена для десятичной системы счисления. Остаётся найти такую систему, в которой она бы имела 2 решения.

9. На 50% решена задача о неизменном трёхциферном окончании.

10. Софизм про 2 + 2 = 5, видимо, был знаком многим читателям блога, потому комментариев к нему не появилось, но если кто сталкивается с подобным доказательством впервые, поискать ошибку было бы интересно и полезно.

11. На сколько частей разобьют плоскость n прямых общего положения?

12. Здесь мы ищем треугольники с целой площадью и последовательными целыми сторонами.

13. А тут нужно найти четвёртую из дробей, допускающих правильно-неправильное сокращение.

14. Вот на эту задачу о дробях и играх с цифрами сам не знаю ответа, но интересно поискать.

15. Вот ещё одна задача о перестановке цифр, решения которой я не знаю. Она вполне могла бы быть темой для исследовательской работы в Малой академии наук по секции Математика или Программирование.

Интересные факты о математике

А знаете ли вы, что...

• Бросая иголку на паркетный пол, можно вычислить число пи;
• На реальной политической карте мира нарушается теорема о четырёх красках;
• Не существует универсального алгоритма, определяющего, зациклится ли некоторый данный алгоритм или нет;
• Соломинка и бублик с точки зрения одного из разделов математики - одно и то же;
• Плоскость можно полностью замостить квадратами со сторонами 1, 2, 3, 4, 5 и т.д., взяв каждый ровно по одному разу;
• Можно туристу дать такую последовательность инструкций, которая приведёт его в нужную точку, где бы он изначально не находился;
• Существует арифметическая прогрессия любой наперёд заданной длины, все члены которой - простые числа;
• Существует даже функция от натурального аргумента, все значения которой - простые числа;
• Со времени присуждения премии института Клэя Григорию Перельману, новых публикаций в этом разделе сайта не появлялось;
• Кроме $2^3$ и $3^2$ не существует больше последовательных натуральных чисел, являющих степенями;

Обычно первого апреля я в блоге публикую софизмы или разные математические розыгрыши, но в этот раз все утверждения в списке - правда. Для некоторых из них стоит подумать, как такое возможно. Так что жду комментариев!

Капетенуза примугольнова примугольника

С 2005 года по Сети ходит скан контрольной работы по геометрии за седьмой класс. Тема, видимо, "теорема Пифагора". Может быть, это и фейк, но если фейк - то талантливый.

Вариант 3.
1. Какие стороны называются катетом.
Те, которые равны $90^o$

2. Свойства примугольнова примугольника
Примугольник примугольника равен $180^o$, а значит что там есть катеты равные $90^o$ и капетенузы равные $60^o$

3. Если капетенуза и катет однова примугольника треугольника соотвецтвена равны капетенузы и катету то они равны $90^o$