Ряд Фарея

Если записать в порядке возрастания все дроби, которые получились при приближении числа е методом медиант, получим последовательность:




Каждая дробь в ней равна медианте соседей. И для любых двух соседних дробей , произведения ad и bc отличаются на 1.

 Эта последовательность называется рядом Фарея.

Приближение числа обыкновенной дробью

Используя свойство медианты, можно находить рациональные приближения чисел. Покажем это на примере числа е .

Число е находится между двумя целыми числами:
2 < e < 3

Запишем границы в виде дробей:


Теперь сравним е с медиантой границ:


Значит, левую границу можно подвинуть:
 

Следующее сравнение с новой медиантой:
 

Снова уточняем оценку:
 

И продолжаем сравнивать число е с медиантой новый границ. В зависимости от результат сравнения будем пододвигать левую или правую границы:

 


Дальше буду писать только по одной границе для компактности:
 









Последнее приближение отличается от е всего на две стотысячных.

Взглянем на сам процесс приближения числа е через медианты внимательнее. Подсчитаем, сколько шагов проходило до того, как новая медианта оказывалась с другой стороны от числа. Получим: 1 дробь справа (e < 3), 2 дроби слева, 1 дробь справа, 1 дробь - слева, 4 дроби справа, 1 дробь - слева, 1 дробь - справа.

Но ведь это звенья разложения дробной части числа е в цепную дробь! [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1 ...]

Вот и ещё один алгоритм разложения числа в цепную дробь, имеющий намного больший запас точности, чем периодическая замена дробной части числа обратной величиной.

Медианта

Медианта двух дробей - это такая дробь, числитель которой равен сумме их числителей, а знаменатель - сумме из знаменателей. Именно так пытаются складывать дроби дети, когда забывают (или не знают) об общем знаменателе :)

Оказывается, у такого действия много интересных применений. Всё потому, что величина медианты находится между величин образовавших её дробей. То есть:


Впервые термин этот ввёл в математику А.Я.Хинчин, тот самый, который открыл удивительную закономерность в цепных дробях.

Загадка числа 196

Возьмём любое натуральное число, например, 12. Переставим в нём цифры в обратном порядке и сложим с исходным.
12 + 21 = 33.

Мы получили число-палиндром, одинаково читающееся как справа налево, так и слева направо.

Иногда, чтобы получить палиндром, требуется больше шагов. Вот, например, для числа 192:
192 + 291 = 483
483 + 384 = 867
867 +768 = 1545
1545 + 5451 = 6996

Сделано 4 шага и палиндром, 6996, получен.

И так происходит почти с любым числом, с какого бы ни начать процесс. А вот с числом 196 что-то странное. Сколько ни продолжали переставлять цифры и складывать - палиндрома не выходило!

196 + 691 = 887
887 + 788 = 1675
1675 + 5761 = 7436
7436 + 6347 = 13783
13783 + 38731 = 52514
52514 + 41525 = 94039
94039 + 93049 = 187088
187088 + 880781 = 1067869
Само число уже превышает миллион, а палиндром не получен!

И до сих пор не найдено ни на каком шагу из числа 196 получится палиндром (а таких шагов разными исследователями с помощью компьютера сделано более семисот миллионов), ни строгого доказательства, что палиндром не будет получен никогда.

Хорошая онлайн библиотека

Сайт Логика от Змея Горыныча - отличное собрание электронной литературы по занимательной математике, логике, шахматам и другим дисциплинам. Здесь есть работы классиков жанра: Гарднера и Дьюдени, Перельмана и Кордемского, и многих других талантливых авторов.

Книги в основном в форматах djvu и pdf. Регистрация для скачивания не нужна.

Зачем понадобилось число i

Часто, когда рассказывают о комплексных числах, говорят, что они были введены в математику, чтобы любые квадратные уравнения имели решения. Однако на самом деле всё было интереснее.

Ведь и вправду, что с того, что уравнение x² + 1 = 0 не имеет корней в действительных числах?  Не имеет - так не имеет. А вот вводить новый математический объект, число i, являющееся квадратным корнем из минус единицы, понадобилось, чтобы решать кубические уравнения.

Как дискриминант для квадратных, для решения кубических уравнений используется формула Кардано. Для уравнений вида
x³ + px + q = 0

Один из корней получается по формуле


Однако, если рассмотреть уравнение
 x³ - x = 0, получим:

p = -1, q = 0


Без умения извлекать квадратные корни из отрицательный чисел, на этом этапе решение остановилось бы. Однако, легко видеть (не люблю эту фразу в решениях, но здесь и вправду легко :) ), что исходное уравнение имеет целых 3 действительных корня: -1, 0 и 1.

Если же ввести число  и доказать, что кубический корень из него равен -i:



То корень уравнения будет получен:


Интересно, что два других корня будут получены из той же самой формулы. Просто существуют ещё два разных числа, каждое из которых в кубе давать i. Это


Можете проверить, что каждое из них, будучи возведённым в куб, даст i. Использовав их на этапе извлечения кубического корня в нашем уравнении, получим оставшиеся два решения: x = 1 и x = -1

Впервые комплексные числа в математику ввёл Рафаэль Бомбелли, он также нашёл алгоритм разложения любого корня в цепную дробь.

Обобщённые цепные дроби

Если в числителях звеньев допускать не только единицы, а любые целые числа, получаются очень интересные разложения.

Например, число пи тогда можно представить так:


Красивая регулярная структура, не правда ли?

А корень из любого числа можно получить вот как: