Объяснение математических часов: 2 - формула Эйлера

Вместо числа 2 на моих математических часах формула:
$2 = 1-e^{\pi i}$

2. Формула Эйлера
Считающаяся одной из самых красивых формул в математике, формула Эйлера объединяет числа пи, е, единицу, мнимую единицу и ноль и имеет вид:
$e^{\pi i}+1 = 0$

Почему число е, возведённое в мнимую степень, даёт действительное число?

Для начала уточним, что выражение $e^{\pi i}+1 = 0$ на самом деле называется тождеством Эйлера и является частным случаем более общей формулы Эйлера, которая выглядит так:
$e^{i x} = \cos x + i \sin x$

Доказывается она через разложение показательных и тригонометрических функций в ряды. Тема степенных рядов заслуживает отдельного поста здесь или даже на Эвольвенте, но пока можно просто сказать, что верны равенства:
$e^x = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots$,
$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots$,
$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots$,
где справа - бесконечные суммы.

Разложив $e^{i x}$ в ряд и использовав свойства мнимой единицы ($i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$), мы и получим искомое выражение: $e^{i x} = \cos x + i \sin x$

Подставив $x = \pi$, имеем: $e^{\pi i} = -1$