Постоянная Хинчина

Если вы пробовали раскладывать наугад взятое число в цепную дробь, то, наверняка, обращали внимание, что единицы и двойки встречаются в разложении чаще всего, а большие числа - редко.

Этот факт в 1935 году заметил и советский математик Александр Яковлевич Хинчин. Он доказал, что почти для всех иррациональных чисел, предел среднего геометрического членов разложения их дробной части в цепную дробь будет величиной постоянной, и равной 2,685452...

Для иллюстрации этого процесса проведём его для дробной части числа пи:

Звено	Среднее геометрическое всех звеньев по данное
7	7
15	10,246951
1	4,717694
292	13,232535
1	7,894315
1	5,594510
1	4,374605
2	3,966891
1	3,403735
3	3,361030
1	3,010310
14	3,421666
2	3,283209
1	3,015922
1	2,801940
2	2,743513
2	2,692972
2	2,648829
2	2,609947
1	2,487712
84	2,941608
2	2,890471
1	2,760111

Однако, обратите внимание, что для пи ещё не доказано, будет ли в пределе именно постоянная Хинчина, 2,685452...

Известные исключения (для которых данный предел средних геометрических не получается) - это квадратичные иррациональности (с периодическими цепными дробями) и число е.

Олимпиада будущего

Вчера перечитывал Бормора

-Начинаем перекличку!
-Клик!
-Клик!
-Все готовы, можно начинать!

Я не готов. Я даже не надеялся выйти в финал. Сам не понимаю, как это получилось. Но теперь я обязательно проиграю, я не справлюсь...

-Приготовились, начали!

Против меня японец. Четырехкратный чемпион мира. Уж у него-то нервы в порядке! И машинка хорошая, тоже японского производства, он с ней одно целое. Мне, конечно, Олимпийский Комитет выдал точно такую же, якобы "для уравнивания шансов". Но какое уж тут, к черту, равенство?! Я-то привык к отечественной! Она и помассивнее, и в ладони лежит так весомо, солидно, опять же, кнопки крупные, не промажешь. А японские калькуляторы - штука миниатюрная, нервная, реагируют на каждое прикосновение. Одно мучение с ними.

-Раунд первый! Девять умножить на три!

Отлично! Замечательный вопрос! Девятка совсем рядом с кнопкой "умножить", а с неё палец сам соскальзывает на тройку.

-Двадцать семь!
-Двадцать семь!

Вот черт! Японец опередил меня на целых четыре секунды! Но ничего, в следующем раунде я...

-Раунд второй! четыре умножить на один!

Какой неудобный вопрос! палец вдавливается в четверку, быстро перескакивает на другой конец калькулятора, потом обратно...

-Четыре!
-Четыре!

Проклятье, японец опять впереди! Если так будет продолжаться и дальше, то я точно проиграю. Достаточно ему ответить быстрее на три вопроса из пяти...

-Раунд третий! Семь умножить на шесть!

Ненавижу, ненавижу, ненавижу этот вопрос! Я так надеялся, что его не будет! Всегда, сколько себя помню, я на нем запарывался...

-Сорок шесть!
-Сорок два!

Опять он ответил раньше... Что?! Не может быть! Японец сделал ошибку! Еще не всё потеряно! Мне нужно всего лишь продержаться оставшиеся два раунда, и я, возможно, обойду его по очкам! Спокойно, сосредоточиться... Помни, ты был лучшим на отборочных играх! Ты установил новый мировой рекорд в среднем возрасте: сумел досчитать без запинки до ста двадцати девяти всего за одну минуту тринадцать секунд. Страна надеется на тебя!

-Раунд шестой! Два умножить на два!

Вот она, двойка! Два умножить...

-Четыре!

Опять японец лезет вперёд! Скорее, ско...

-Стоп! Остановить поединок!

В чем дело? Что происходит?

-Спортсмен из Японии дисквалифицирован и вынужден покинуть ринг. Ему отказано в праве продолжать соревнования.

Ничего не понимаю... за что?

-Согласно показаниям наших наблюдателей, и этот факт заснят на видео, в последнем раунде японский спортсмен произнёс ответ прежде, чем тот высветился на экране калькулятора. Это может означать только одно - нечестную игру. Он заранее выучил все ответы!

Кто бы мог подумать! Какой позор для Японии! Но теперь, выходит... я - победитель?!

-Ввиду того, что противник выбыл с состязания, победителем объявляется...

Да, я победил. Чемпионат мира по математике закончен. А если товарищи не подведут, и сумеют без ошибок напечатать свои тридцать знаков, то и в командном зачете по чистописанию нам золото обеспечено.

Сказки Бормора: http://www.livejournal.com/users/bormor/86540.html
Пожалуй, это единственный блог в ЖЖ, в который я регулярно захожу. Жалко только, что стал редко обновляться.

Поздравляю учителей с профессиональным праздником! Здоровья вам, выдержки, вдохновения! И талантливых учеников!

Периодические цепные дроби

Периодические цепные дроби получаются только из иррациональных чисел, являющихся корнями квадратного уравнения. Для всех остальных иррациональных чисел периода в цепочке не будет.

Вот, например:


 Или, в более компактном виде, это выглядит как:
[1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, 1, 10, 2, 1, 4, 12, 2, 3, 2, 1, 3, 4, 1, 1, 2, ...]

Но и среди непериодических цепных дробей встречаются имеющие красивые закономерности. Классический пример - число е, разложение которого - последовательные чётные числа, разделённые парами единиц.

[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, ...]

Цепная дробь из корня

Способ разложения числа в цепную дробь с помощью калькулятора имеет ограничения точности. Но, оказывается, для квадратных корней существует способ получения цепной дроби любой длины, требующий лишь ручки и бумаги. Разложим с его помощью корень из 503, который нам был нужен для решения уравнения Пелля.

 Для начала выделим в корне целую часть. Так как 22² = 484, а 23² = 529, то


 Итак, искомое разложение начнётся как [22, ....]

 Превратим дробную часть в дробь с числителем 1:
 

 Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, воспользовавшись тем, что:


 Получим:


 Теперь выделим у дроби целую часть:
 

 Получили второй член разложения: [22, 2, ....] А в целом цепная дробь сейчас выглядит так:
 

Перевернём теперь дробную часть ещё раз:


 Внимание! Здесь начинается особая математическая магия! Дело в том, что знаменатель обязательно должен разделиться на целый множитель числителя. Очень рекомендую это доказать - удовольствие гарантировано.

 Действительно, здесь тоже имеем:
 

 И выделение целой части даёт нам новый член разложения: [22, 2, 2, ....]

 Вот новое звено цепной дроби:
   

Данный процесс можно продолжать. Когда получим на каком-либо шаге дробь, которая получалась ранее (а мы обязательно получим такую, это тоже можно доказать), соответствующий участок разложения зациклится.

 Вот так можно получить цепную дробь любого корня без каких-либо электронных вычислительных средств. А вообще, самый простой способ - это вбить в ВольфрамАльфе: continued fraction, а затем в новом открывшемся окошке написать sqrt(503)

Как получить цепную дробь

При решении уравнения Пелля для нахождения рациональных приближений иррационального числа, то мы раскладывали в цепную дробь. А как, собственно, это делается?

Допустим, в цепную дробь мы хотим разложить число пи = 3,14159265358... Для начала выделим целую часть:


Затем дробную часть заменим дробью с единицей в числителе:


Теперь выполним это же действие с числом в знаменателе


И ещё раз, и ещё:


Полученная цепная дробь будет бесконечной и непериодической.

В более компактном виде это запишется как:
[3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2,...]

Кстати, при таком способе разложения скоро даёт о себе знать точность калькулятора, и начинаются ошибки. Например, если вычисления вести в Экселе, то для числа пи можно найти лишь 13 верных звеньев.

Уравнение Пелля

Рассмотрим задачу:
Найти натуральные x и y, для которых
 x² - 2012y² = 1

Поскольку 2012 кратно четырём, то данное уравнение равносильно:
 x² - 503z² = 1,
где z = 2y.

Вот, что с ним можно сделать теперь . Разделим обе части на z² и выполним перенос вычитаемого вправо:


И извлечём корень:


Таким образом, корни этого диофантова уравнения можно искать среди рациональных приближений корня из 503.

Этот корень раскладывается в бесконечную цепную дробь:


Дальше числа в знаменателях будут периодично повторяться. Более коротко такая цепная дробь записывается как:
[22, (2, 2, 1, 21, 1, 2, 2, 44)].

Если обрывать цепную дробь на каком-нибудь слагаемом и сворачивать её обратно, будем получать подходящие дроби. Если для приближения взять дробь



То получим первую пару натуральных чисел, удовлетворяющую условию:
24648² - 503*1099² = 1

Таким образом, x = 24648, y = 2198

Вот так решаются уравнения Пелля. Заметим. что в таких уравнениях коэффициент при y² не является полным квадратом.

Функция Дирихле

Функция Дирихле D(x) определена для всех действительных чисел и рана единице, если x - рациональное число и нулю, если x - иррациональное.

Если бы мы попытались изобразить график этой функции, то на нём между любыми двумя точками с ординатой 1 имелась бы точка с ординатой 0, и между любыми точками с ординатой 0 имелась бы точка с ординатой 1. Этот график был бы разрывен в каждой точке.

Функцию Дирихле часто приводят как пример недифференцируемой функции.